ARC

— » - j -5 dont la somme est oo degrés, s'obtient, comme

on vient de le voir (a) , en posant

ce qui donne

. /A\ . /B\ . C I sm I - ) • sm I - 1 . sia - =: s ; \2/ \:t) 2 8

l'égalité (i) devient alors

par conséquent, le nombre 2 est le minimum cherché.

4. Déterminer le maximum, du produit des tangentes de n angles positifs a, b^ c^ d^ etc, dont la somme, a, est donnée : on suppose que la somme de deux quelconques de ces angles est moindre que 90 degrés.

Les inégalités supposées

«•+.6<90% cH-rf<90% .., donnent

tang a . tang 6 <[ I , tangctang^f <[ i. . . .;

et de là on peut conclure que le produit p des tangentes des angles a, b^ c, d, etc., est toujours moindre que Funîté. En effet, lorsque n est pair, p se forme du produit

( i66 ) des - nombres

tangâ.tang&y lange. tang J, ... ,

qui sont chacun compris entre o et i , On a donc p <^ i . Si n est impair, p est le produit de tanga par un nombre tang b , tang c . tangJ , etc. ^ plus petit que l'unité^ il s'ensuit

/?< tanga.

On aura de même

P < tang b , d'où

/?' <^ tàng a . tang ^ < i et /> <[ i .

Ainsi le produit variable p a Un maximum compris entre o et i.

Cela posé ^ considérons d'abord le cas particulier oii n = 2.

Dans ce cas, on a :

^ , sina sin^ a+e> = a4 a^QO**, /?= tang tt . tang 6 = =.

Mais

siho.sin b =-[cos (a — b) — co3(« -h b] = -[cos{a — b) — cosa],

cosfl[.cosô=-[cos(a — ^)+ cos(rt-h^)]=-[cos(« — è)r|-cosfl];

donc,

cos (« — b) — côs « .2 crts a

cos {a — ^) -f- cosa cos (a — b) -+- cosa

Y p ,. 2 cosa . .

La traction > ^,-t est positive, puisque

cos (a — b) -h cosa ^ ' r ^

l'angle a est aigu -, par conséquent le maximum de p s'obtiendra en posant

cos {a — é>) = i ^

ce qui donne

et

Quel que soit n^ il faut, pour que le produit p devienne maximum, que les angles a^ b^ c^ etc., soient égaux entre eux, on sait comment cette proposition générale se déduit du cas particulier que nous venons de considérer.

Quant à la valeur de /t?, correspondante à Tégalité des

angles a , i , c , etc. , elle est évidemment tang" | ~ | . Cette

valeur est moindre que l'unité, parce que -- est moindre que la moitié d'un angle droit.

5. Démontrer analytiquement que de tous les trian^ gles circonscrits à un cercle donné, le plus petit en sur-face a ses trois angles égaux entre eux.

Soient /' le rayon du cercle, A , B , C et 5 les trois angle» et la surface de Tun des triangles circonscrits, on aura