ABC

ung^.tang -• tang-

Le minimun de s correspond au maximum du produit

des tangentes des angles -î -? - dani la somme est égale

à 90 degrés; donc (n"" 4) lorsque s est minimum , les angles A, B, C sont égaux entre eux. C'es^t ce qu'il fallait démontrer. G.

GÉNÉRALISATION DU THÉORÈME DE NEWTON SUR LE QUADRILATÈRE INSCRIT DANS UNE CONIQUE.

i. Théorème. Soient deux systèmes chacun de n plans; ces deux systèmes se coupent en n* droites par lesquelles passent une infinité de surfaces de degré n; chacune de ces surfaces jouit de cette propriété : le pr<h duit des distances d'un point quelconque de cette surface à Vun des systèmes de plans est au produit des distances du même point à l 'autre système de plans dam un rapport constant.

Démonstration. Soient

réquation d^un plan quelconque du premier système, et

Téquation d'un plan quelconque du second système 5 la surface représentée par l'équation

(i) A.AjAs .. A«-HXB.Ba. .B„ = o,

où X étant une constante arbitraire, est une surface de degré n et passant par les n* droites d'intersection du système A avec le système B. Soit oCp la distance perpendiculaire d'un point de cette surface au plan A^ et ^p au plan Bp5 d'après l'expression connue de ces distances, on a

a. «2. . . a„-hXp,p2. .. p„ = o.

Observation. L'équation (i) renferme 8n constantes,

X comprise ; une surface de degré n renferme ^

constantes. On peut donc identifier cette équation avec Téquation (i) tant que n est inférieur à 5 , identification purement analytique pour n = a et n = 4 lorsque ces surfaces ne renferment pas de droites ; mais les surfaces du deuxième et du quatrième degré qui contiennent des droites peuvent se mettre respectivement sous la forme

A, A, -f- \Bi B, = o, A, A, A3 A4 4- XB, B^Ba B4 = o,

et une surface quelconque du troisième degré peut se mettre sous la forme

A.AsAs + XBtBtBasro;

ces surfaces possèdent donc la propriété des distances, ci-dessus énoncée , et l'on peut en déduire les principales propriétés.

2. Théoaème. Soient donnés dans un plan deux systèmes, chacun de n droites ; ces deux systèmes se coupent en v? points par lesquels passent une infinité de lignes de degré n ; chacune de ces lignes jouit de cette propriété : le produit des distances d^un point quelconque de cette ligne à F un des systèmes de droites est au produit des distances du même point à l'autre système dans un rappdrt constant.

Même démonstration.

Observation. L'équation (i) où les A et les B représentent des droites contient 6n constantes. Une ligne de

degré n renferme constantes. Aussi on peut opérer a/îa/)^^i^aemen£ l'identification pour n inférieur à 10. Faisant /z = 2, on a la propriété des distances pour le

Ànn, de MaAèmat., t. XVll. (Octobre i858.) 24

( 370 ) quadrilatère inscrit dans le quadrilatère; théorème fondamental de Newton dont la constance du rapport an" Iiarmonù/ue de M. Chasles n'est qu'une simple transformation (t. XVI, p« aso); mais l'énoncé de Newton présente l'avantage de pouvoir être généralisé.

3. Par des transformations métriques du théorème de Newton 9 M. le capitaine Faure parvient à celui-ci ;

Un quadrilatère étant circonscrit à une conique ^ le produit des distances des deux sommets opposés à une cinquième tangente quelconque ^ diinsé par le produit des distances des deux autres sommets à la même tan^ gentCj donne un quotient constant.