On a
Jr« r, -+- ;«7„ -h «« 2„ = a« a^ cos {a^ a^).
Au moyen de cette relation qui équivaut i six équations et du déterminant (B), on trouve une équation entre les cosinus des six angles intérieurs que donne un faisceau de quatre rayons, et les longueurs de ces rayons. C'est la relation donnée la première fois par Carnot (*) [Géométrie de position^ i8o3, p. A^6)\ il fait voir comment on peut se servir de cette dernière relation pour trouver le rayon de la sphère qui touche quatre sphères, Il présume que Téquation sera du second degré et ajoute : (( 'Le calcul étant fort long, quoique sans aucune diffi- » culte, je me contente de l'indiquer. »
M. Mention a exécuté le calcul (Nouv^elles Annales ^ t. XVm, p. 438).
(*) Néà Nolay (Côte-d'Or) en 1763, mort en exil à Magdebourg en i823.
HeilVBHBNT DU PENDULE;
Par m. nNK,
ProfesMur à Strasbourg.
M. Delaunay a traité dans sa Mécanique entre autres deux questions intéressantes, a saToir : la déviation des corps graves vers l'est, déviation due au mouvement de rotation de la terre combinée avec Faction de la pesanteur dans la chute verticale, et le déplacement du plan d'oscillation du pendule due au même mouvement de rotation. Ce savant emploie à cet effet la théorie du mouvement relatif. Je me propose de résoudre les mêmes questions sans ce secours; on verra qu'eu négligeant le carré et les puissances supérieures de la vitesse angulaire de la terre, mes résultats coïncident avec les siens.
Déi^îation. Je prends trois axes fixes dans Fespace : l'axe Oz sera dirigé sur celui de la terre, du centre au pôle nord ; Taxe Ox aura la position initiale de la trace du plan méridien du Heu sur Téquateur ; l'axe Oy est perpendiculaire aux deux autres. Soient A la position initiale du lieu ou de l'observateur, R sa latitude^ a le rayon terrestre, tù la vitesse angulaire de la terre; au bout du temps ^, compté de Finstant où le point matériel commence à tomber, les coordonnées de ce lieu seront
(i) X| = acos^cosu^ /, = /icos^sinM^, z, = /7sinX;
Féquation du plan tangent au globe en ce point, c'est-àdire du plan horizontal de Fobservateur, est, au temps t,
(2) jtcosllcosw^-h Jcos\sin»f -+-«sinX — /i = o.
Je nomme b la distance initiale du mobile au centre
Ann. tU Hnthémat,, t. XIX. (Décembre i8(;o.) 29
(45o) delà terre, de sorte que b — a est la hauteur d'où il tombe \ ses coordonnées initiales sont
(3) x^z^bcoslf j«=0, ««s^sinX.
La vitesse initiale du mobile, perpendiculaire au plan xz^ est b(ùcosl\ ses composantes parallèles aux x^jr, z sont respectivement
(4) o, 6*>cos>, o.
La pesanteur g étant dirigée sur la verticale de Tobservateur, les équations du mouvement sont d'x
-TT = — ffCOSXcOSfi»/,
dr
— = — ^cos^sin»!,
Ayant égard à (4) on trouve, au moyen d'une première intégration ,
dx 0
-r = — s cos>sin»f ,
-T-=Ê^cos\(cOS»r-- l)-h ^«IC08>,
— = — ^/smX.
La position initiale du mobile a pour coordonnées (3),
donc
s ar= -2-cosX(cos«/— i) -H ^cosX,
(5) \ j^ = cos> -^sinwf -f- (*•>— ^1 r, z = sIdX [h g^Y
Pour avoir Tépoque de la chute sur le plan horizontal
{ 45. ) de Tobservateur, il faut substituer pour x^ y, z^ ces ex«pressions dans Téquation (2), puis la résoudre par rapport â /.
Or 0) étanrégal à
ou pourra développer les sintùt, coscof suivant les puissances de a>f, et comme la durée du mouvement de chute se réduit à quelques secondes» ou négligera oD*, («)*, etc. On trouve
. = cosx[*-^(^-^-H-..)] OU
' = cosX Ib ^'' )»
ou
r=cosx/* — ÇW
2=:sinX 16 g^)'
Dans (3)^ je remplace également coscof et sincof par les séries , et ar, ^, z par les valeurs précédentes^ je supprime w*/",. . . et j'ai
(^) 6-^ — i^^« = o, d'où /=i/iï^
comme si la terre ne tournait pas.
La déviation est la distance du point de chute repré^^ sente par (6) et (7) au point x,, jj, z^ Avec l'approximation adoptée ) on trouve pour le carré de cette dis-
( 45u ) tance, avant d'avoir ^ard A (7)7
Le premier ternie est nul en vertu |de (7), et la déviation tout entière à l'est (vu que x — Xt = o)
•»r cosl Ib — a — g S*' ) '
Avec la valeur de t (équation 7), elle se transforme en
que je nomme ti, comme dans Touvrage cité. Dans les expériences que Tauteur cite, on avait
^ — a=i58»,5, X = 5iS g^ = 9,8o88 et «=o,oa83;
le calcul de la formule (8) donne 11 = 0,0276,
Pendule. Je conserve les mêmes axes de coordonnées et j'appelle Xi, y^^ Zi le point de suspension du pendule simple, / sa longueur, N la réaction du fil de suspension, — X, ^, z les coordonnées du point matériel \ sa masse est supposée ?= i. Les équations du mouvement sont
— = — gcoslcostii — ïH- — - — -, (1) j g = ^cos>sin«r-N^l=^,
Comme plus haut, on a ici
(a) X, ^ acosXcoSMf, /, sr acos^sin*»/, «, =asin>.
Par le point x^ y^ z^ j'imagine un second système d'axes de coordonnées fixes dans la terre, à savoir : la verticale du lieu axe des (*, la mëridienne axe des {, et la perpendiculaire axe des n^ On aura
Sar = jCj -+- ÇcOS^or -J- nCOSndT -h (cOSÇ^Ti . r= riH-ÇcosÇ/H-..., /
. f » = «, -f-ÇcosCs. ..
L'axe des ^, c*est*à-dire la verticale, donne immédiatement, au temps tj
cosÇx = cosXcosâiry cos(j^ = cosXsinwr, cosCS = sinX.
L'axe des 77, perpendiculaire au plan méridien qui fait avec le plan xz l'angle oit, donne
cosnxrr — fxatit^ cos)ix = cose»/y cos9}s = o.
Quant a Taxe des | , il fait avec Taxe z un angle de
90 + 90 — X, d'où oosÇs=: — cosX. U est de plus perpendiculaire à Taxe Ç, ce qui donne
cosÇarcos^x + cosÇ^ cos(^ + cosÇs cosCs = Oy ou, à cause des valeurs déjà données,
(5) cosÇâ?cos\cos«»r + cosS/cosX8inw/ — cosXsinX = o.
Avec cos*$x + cos*$jrH-co8*Ç« = i et comme cosÇ^ ^ale — cosX,
cos'Çx -h cos*Ç j -H cos'X = i»
Cette équation avec (5) donne
cosEx = sinXcosu^y cosEr^smXsin»/^ et les formules (3) deviennent
;r=:X| + ÇsiDXcos»r — usiner + CcosXcoso»r,
(6) ( r=ri-t-5Mn^wn»^-+-'»cos»f + ÇcosXsmo»/, 2 == 2, — Çcos> + CsinX.
( 454 ) Les équaiioDft (i), mullipliëes respectivement par Zif: — jTi z^x^z — ZxX^jfx X — ^\y donnent, par addi-> tioa,
On va remplacer toutes les quantités qui y entrent par des fonctions de ^1 , m^i , o)/ .
D'abord les équations (3) et (2) fournissent
«i/ — j^»2 = û(Çsinw£-f->:sinîicos»/), X, z — ZiX = û ( — S cos« f + îî ûnk sinur), X^x — Xyx =: — an co%\.
Avec cela Téquation (7) peut être mise sous la forme suivante
\ S(sin<ki/</'jr — cosvitd^y)
\ -+-n(8in>cos»/£^Jî-4- sîn5i8in«/rf*j) — coslrf*s = o.
Pour calculer les coefficients de | et )?, je multiplie la première des équations (6) par sino)/, la deuxième par — coscot, j ajoute et j'ai
(9) xûntùt — /coswr= — ^,
Je multiplie les mêmes équations par sinÀcosojf, sinX sinoD^, la troisième par — cosX, j'ajoute et il vient
(10) sîn>(arcos«f -hj'sinw/) — 2cosX=:Ç.
L'équation (9), diâerentiée deux fois, donne
(11) \ = — ûPn — ^tùdt{QO%utdx -^bixibitdx) \ H-wM<*(xsin«r-h/co8wf),
d'après Téquation (9) le dernier terme = — «•>? A*. L'équation (10), diiTérentiée deux fois, donne
sinÎL(GOSwr.rf'ar-hsin«/</'jr-) — cosXd'2 ;= <f Ç
(12) \ -k- iHAÛn\dt{m\tùtdx -^QOSu^tdx)
Le dernier terme, en vertu de l'ëquation (lo), se ré«> duil à (ù^dt* {^-^ zoos A), et d'après réquation (lo), k (ù* dt* sin 1 [$ sinX -\- [a-^-t) cosl].
Restent les facteurs de iktadt.
Or de Féqualion (9) on tire
sint»r.dlr— cos«f.rf^ = — «/« — ^ dt (x co$^ t-^ y ûnùit)^ et d'après réquation (10)
^in^e.dx — cos^t.dy^z dn r-r(ï H- scosX),
d'après l'équation (6)
{i3) ûtkbit.djc — co%fùt.dxz=. — dn — w</flÇsin>-4-(a-f-s)cosli].
De l'équation (10) on déduit
, , rfÇ + cosXdi
ces» /. M H- sin » / or = r-^
$inX
+ «>»^it(xsinur — jcbSft)/)
= sin X .^/Ç -f- CQ%\ </Ç — &>i) dt.
Cette valeur, ainsi que les équations (11) (la) (i3)f sttbti tuées dans l'équation (8), donnent
IÇ[— c^ïi — a«i/r(sinXrfÇH-co»XJi;--«u<//)— w'iï^//*] + iïj'/*Ç-h2»</^sinli(— rfn— «rfr[gsinX4-(aH-Ç)cosX])| -f- <ù^%m\d(!^[^a H- ( (cos> -f- J sin> )] = o.
Effectuant, etc.,
o = îa^Ç — {</*>» — 2 6>sinX($^E + ii<'>i)^^— 2o)COsX.<^i;i// + «'q oos> £/^ [ ( cosX *H (a + ( ) ^^^^^ ]•
En négligeant le terme en (o*, de même que -r- qui est très-petit dans les expériences, on a une -équation dont
( 456 ) riolégt-alc* esl
Çr/n — „r/Ç 4- « sin> («/? -H A'; = C.
Observant de plos, encore aycc M. Delannay, que le pendule Foucault est installe de façon que pendant chaque oscillation il revienne coïndder avec la verticale du point de suspension, on voit que Téquation doit être satisfaite par ^ = o avec yj = o, de sorte que la constante est nulle. On posera ensuite, si on veut, Ç = rcos9, 17 = rsinO, et Téquation devient
dB = — «isinXi/ly d'où
e=e. — «sinlXf,
ce qui donne a>sinX pour la rotation relative du plan du pendule en 1 seconde.
Ces calculs se simplifient beaucoup si dès le commencement on néglige. 0)*, .... En ne remontant qu'à Téquation (8), on voit que cette équation devient
Ç(»/£/'x — ^j)H-iï(sin^</*jr-4- «fsinlrf'7' — cos>rf*») = o.
Les équations (6) donnent cor jt — jr = — 17, [a) (4:-h«rj)sinX — ÇcosÀ = ï,
d'où
utePx — d*jr =: — ePz — 2(adxdi, (ePx -h t^iti'x) sïn\ — cosl.«r» = rf'Ç — ^^sinldttfy .
Gïs mêmes formules (a) donneront dx^ dy^ dans les expressions desquels on pourra supprimer les termes en 0), puisqu'on multipliera par ik<ùdt. On aura ainsi
(ii-\'COs\dzdz ^ ,,, . .^ ..,
dr = dn, dx== r-; = cos A «fÇ -4- sio X . </{ .
M57) et Inéquation (i4) devient
ç[ — £/>>, — 2ft)^/(sinX<fÇ-f-cosX€/Ç)] ou
DÉPINITIONS DBS MODES DK DKPDÉSENTATION
■eitJMiés uns l'extrait d*ii Mémire sir les Cartes gétgrapbiques, iiséré
âi CoHpte rendi it la siuce le TAcadéHie des Scieices
di 5 Mrs 1860;
Par m. a. TISSOT.
Lorsqu'on a égard uniquement à la nature dés lignes du canevas, on peut classer de la manière suivante les divers systèmes de projection qui ont été employés ou seulement proposés pour la représentation de la surface entière du globe.
1°. Le (lèvelopement de Mercator est le seul dans lequel les méridiens et les parallèles soient remplacés par des lignes droites.
11 y a six systèmes où, quand le pôle occupe le centre de la carte, les méridiens se trouvent figurés par drs lignes droites partant de ce point, et faisant entre elles des angles égaux aux différences de longitude, les parallèles par des circonférences ayant toutes ce même point pour centre. Ce qui varie de l'un à Tautre de ces systèmes, dont les quatre premiers sont des perspectives, c^est la manière dont les rayons des parallèles de la carte dépendent de la latitude-, voici leurs noms :
a**. La perspectii^e centrale ou projection gnomo^ nique ^
3°. La projection stèréographiqiie (voir la Note k la fin) 5
4"» La projection de La ffire ;
5®. La projection orthographique^
6°. La projection de Lorgna (*);
7^. La projection stéréographiqne équatoriale modi'' fée.
Dans les deux systèmes suivants^ les parallèles sont représentés par des cordes d'une même circonférence parallèles entre elles, et les méridiens par les ellipses qui divisent ces cordes en parties proportionnelles aux différences de longitude; ce sont :
• 8°. La projection de Tjisîronoinie populaire d*Arago ;•
9®. La projection homalo graphique de M. Babinet^
Ils se distinguent Tun de Vautre par le rayon du méridien principal et par Técartement des parallèles.
Pour les deux derniers systèmes, savoir :
10**. La projection globulaire ou projection anglaise^
11^. La projection stéréo graphique méridienne modi^ fiée.
Toutes les lignes du canevas sont des circonférences.
Dans le premier et les quatre derniers mode^ de représentation, c'est un lieu de Téquateur qui se trouve au centre de la carte; pour tous les autres, il conviendrait aussi d'effectuer la projection sur un méridien : de cette manière on rejetterait les plus grandes déformations vers les bords de la carte, c'est-à-dire vers les régions qui sont occupées en grande partie par les contrées polaires ou par rOcéan; mais afin de les définir plus facilement,
(*) AntODto-Maria Lorgna, né à Vérone en 1730, mort à Vérone en 1796.
Tm.
( 45» ) nous supposerons d'abord qu'il nes'agîsse pour eux que de la projection équatoriale. Nous pourrons alors ajouter que dans les onze systèmes, à l'exception du 8^, du q^ et du lo", les deux séries de ligues qui représentent les méridiens et les parallèles se coupent à angle droit.
Il reste à dire quelques mots de chaque système en particulier.
i**. Le dé\feloppement de Mercator (*), qui conserve les angles et donne des lignes droites pour projections des loxodroniiest est destiné à la construction des canes marines ou cartes réduites. L'écartemeui de deux méridiens y est le même que celui qu'on inesurerait sur le globe le long de Téquatçur, et, quand on néglige Taplatissemcnt, la distance d'un parallèle à l'équateur y est égale au logarithme népérien de la cotangente de la. demi-distance polaire du parallèle.
2**. La perspectii^e centrale est prise du centre de la sphère, comme son nom Tindique; il est facile d'y reconnaître les diflerents lieux qui se trouvent sur le plus court chemin de deux points donnés du globe, puisque tout grand cercle y est représenté par une ligne droite. En appelant X la distance polaire d'un parallèle et r le rayon du cercle qui lui sert de projection, on a
r=: tan;;. >.
Sur un cadran solaire, les lignes d'heures s'obtiendraient comme les méridiens, et les courbes de déclinai-^ son comme les parallèles de ]& perspectiî^e centrale^ cette remarque d'ailleurs est indépendante de la position dui plan sur lequel on fait la perspective par rapport à la ligne des pôles, et de celle du mur sur lequel on trace le
(') Mercator ( Gérard ), né à Ruremondo en i5i3, mort à Duisbourg en: 1694 ; sa première carte eat de 1569. Tm.
(46o) cadran par rapport au style, poarvu que les dénie posi* tions se correspondent ; de là est venu le nom de projeolion gnomonique.
V*. En cherchant la condition qui doit être remplie pour que le canevas des droites concourantes et des circonférences concentriques n'altère pas les angles, on trouve
r=:2tang- X;
on est ainsi conduit à une perspective de Thémisplière prise du pôle oppose, c'est-à-dire à la projection stéréo^ graphique.
4°. La Hire {*) a proposé de mettre le point de vue en dehors de la sphère, à une distance de sa surface égale au sinus de 45*', ce qui donne
(aV'^ -Hi)sinl
^ H- I -H VacosX
5^. En Téloignant jusqu'à Tinfini, on obtient la /?/%>• jection ortho graphique ^ et le rayon du parallèle devient
r= sinX.
6^. Parmi les modes de projection que comprend ce même canevas à droites concourantes et à circonférences concentriques, il en est aussi un qui conserve les surfaces: c'est celui de Lorgna; la condition indiquée conduit .à prendre
r= !2sin-A:
cette longueur est celle de la corde de méridien comprise entre le parallèle et le pôle.
C) Philippe de la Uiro, né h Paris en 1640, moft à Paria en 1718; peintre, architootejeclciir royal, membre de TAcadémie des Sciences. Tm.
( 46i ) 7^. Le a' el le 3^ système augmentent les distances 1« long des méridiens, tandis que le 5" et le 6* les diminuent; elles ne seront pas modifiées si on fait
Supposons maintenant que dans Tune des six projections précédentes on veuille placer un lieu de Féquateur ati centre de la carte ; alors ce qui a été dit des méridiens s^appllquera aux grands cercles passant par ce lieu, et ce qui a été dit des parallèles aux petits cercles parallèles à son horizon. Le canevas géographique ne sera plus aussi simple; au lieu des droites et des circonférences qui représentaient respectivement les méridiens el les parallèles, on aura les lignes indiquées dans le tableau suivant :
Système n? 2. Droites parallèles Hyperboles.
» 3. Circonférences Circonférences.
» 4- ellipses Ellipses.
» 5. Ellipses Droites parallèles.
» 6. Cniirhes dn 4^ degré. . Courbes du 4* d«»gré.
» 7. Courbes transcendantes. Côurbes'transcendantes.
8^. Dans le 8^ mode de représentation, le méridien principal a pour rayon -9 tt étant le rapport de la circonférence au diamètre, et les parallèles gardent leurs distances mesurées le long d'un méridien du globe.
9^. Le suivant conserve les surfaces; le rayon du méridien principal y est égal a ^2, et Fécartement des parallèles y est déterminé par Téquation
2z -h sin2s = 9rsin/,
dans laquelle /désigne la latitude du parallèle, et sinz sa distance k Téquateur sur la carte. Cette équatiou se trouve
{ 46a ) réduite en tables dans la Notice qn-a publiée M. Babinct. lo^. Supposons que Ton yeuilie tracer de lo en lo^ les méridiens et les parallèles de la projection globulaire^
après avoir décrit un cercle avec un rayon égal à -
pour figurer le méridien principal, et deuxdiamètres à angle droit pour le méridien central et Téquateur, on divisera chaque quart de la circonférence et chacun des quatre rayons en g parties égales \ par les pôles et les points de division de Téquateur, on fera passer des circonfé* rences, ce qui donnera les méridiens^ par les points de division qui se correspondent sur le méridien principal et sur le méridien moyen, on fera passer d'autres circonférences et on aura les parallèles.
1 1^. Enfin le canevas du dernier système est formé par la réunion des méridiens de la projection globulaire avec les parallèles de la projection stéréographîque.
Note. Le nom de stéréographie a été introduit par le jésuite Aguillon (François) (*).
tt Quare lametsi stereographiccs uomine nusquam » vocatum hoc projectionis genus reperimus \ quia tamen » nec alio quidem ullo solitum est appellari, placuit hoc » nom*en usurpare, quod nobis in praesenti vîsum est ad » rem ipsam quam maitime accommodatum. » ( Aguilomi Opticorumlibri sex. Parisiis, 161 3, înf^, in Praefatione.). (f^o/r Ce asles, Méthodes ^'p, 5 16.)
(*) Né à Bruxelles en i568, mort h Anvers en 1617. Tm.
THÉORÈMES GINÉMATIQIES SUR LES SURFACES tT YOLUMES ENGENDRÉS PAR MOUVEMENT;
Par m. Emile BARBIER,
Elève de l'Ecole Normale (').
1. Le centre de gravité G d'une surface plane S se meut avec une vitesse constante dans son plan, pendant que ce plan tourne uniformément autour d^une droite qu'il contient; le volume engendré par la surface S a pour mesure le produit de l'aire S par la longueur de Tare engendré par le centre de gravité de la courbe parcourue par le centre de gravité G. En particulier, si l'an suppose un cercle G tournant autour d'un point fixe I, en même temps que son plan tourne autour d'une droite qui y est contenue; de plus, si la rotation du plan s'achève pendant qu'un nombre entier de rotations autour du point I se sont accomplies, et si les rotations simultanées sont uniformes, les volumes engendrés sont indépendants de la distance du cercle G au point I. La surface engendrée est un anneau ondulé à moins que le centre G ne soit en L
2. Toutes les sections droites d'un cylindre quelconque, tournant autour d'un axe situé dans le plan de Tune quelconque d'elles, engendrent des volumes équivalents.
3. Le volume engendré par une surface plane quelconque, tournant autour d'une droite quelconque, est équivalent au volume engendré par la projection de la surface plane sur un plan méridien passant par son centre de gravité.
(*) Devenu agrégé n» i . Tu.
4. Une sphère de rayon constant, dont le centre par-court une hélice ordinaire, est enveloppée par une sur» face canal quW peut appeler serpentin.
Cette dénomination étant adoptée, nous pourrons dire que le serpentin donne lieu à la proportion suivante :
Sa section perpendiculaire à Taxe du cylindre est au grand cercle de la sphère génératrice, comme la longueur d'une spire d'hélice est i son pas.
ODESTIONS.
554. On a fait arriver dans un poids d'eau x un poids p de vapeur d'eau à d degrés sous la pression de c* centimètres ; on a aussi porté la température t de cette eau à la température /'; Teau est renfermée dans un vase métallique pesant h kilogrammes et dont la chaleur spécifique est m ; on demande la valeur de x.
5oo. Dans un triangle isocèle donné, inscrire une parabole qui touche les deux côtés égaux, soit bornée par la base et dont Taire soit un maximum.
(RiMCHUNDEA, professcur indien à Calcutta).
556. C|, C«, Cs sont trois cônes de même degré ayant leurs trois sommets sur la même droite; Cj coupe C» suivant une courbe plane^ Ci coupe Çi suivant une courbe plane, Ci et Ci se couperont aussi suivant une courbe plane, et les trois plans passent par la même droite.
(Steijker.)
( 465 ) TABU DES lATrtRES PAR ORDRE MÉTHODIQUE.
(ffOME XIX.)
Aidyse algAritpe.
Pacet.
Sur les fonctions symétriques des racines communes à deux équations; par M. E. Dewulf 18
Soit (n, h^ Cy d, e^f, . .) (x, 1)" = o ; calcul de la fonction symétrique 2(^4 — X,)* (invariant cubique); par M. Mi-
chaelRoberts , a3
Théorème sur le binôme de Newton ; exposant entier, positif;
par M. Garcet Z%
Nombre de racines réelles de Féquation j: = Â8inx4' B; par
M. Ch, Bourgeois « i3o
«j:*+4^^-f-ô<^'5p'4- idx-^e — o,
<i^^— 4W-»-3c* = o;alor8 5!7 — î-2r5=o(M.9rRi»oii);
MM. Dewulf fX Martelii igS
Relations entre les fonctions de Sturm (Catlet) ; par M. de
Zeipei ^ 120
Condition de Végalité de deux racines dans Téquation
^"";V'"*/ = tang-««^^
(PuiSEux ) ; par M. Gressier a3o
Sur les formules d'interpolation de Lagrange et de Newton ;
par M. A. Transon 248
Intérêts et annuités ( question 5a3 ) ; par M. Cuenoud, Nadal
et Vannière 336
Afin, de Mathém., t. XIX. (Décembre iSfio ) 3o
Page».
Eiercices sur les équations numériques; d'après M. BellavUis 343
Questions de ï Algèbre Bertrand résolues par M. Mathieu. ... 371
Résolutions d'une certaine équation du cinquième degré et d'une équation du sixième degré ; pv M. tle Firieu 393
Résolution numérique de deux équations du second degré; par M. Abel Transon 44i
Produit de deux polynômes déduits Tun de l'autre par changement de signes; par M. C, Kessler 437
lulyse uééteninée/; Aritkaologîe \ Arilknélifie.
Le produit de cinq ou de six nombres consécutifs ne peut être
un carré ; par M. Gerono 38
Le produit de cinq ou de six nombres consécutifs ne peut
être un carré ; par M. Le Besgue 1 12 et i35
Théorèmes de M. CEttinger sur un maximum arithmologique,
démontrés par M. Dcrhes 117
Sur quelques produits dont les facteurs sont en progression arithmétique : i"" le produit de trois nombres entiers n'est jamais une puissance exacte ; 2° le produit de six, de neuf nombres entiers consécutifs n'est point un cube ; par M. P.- A.
Guibert 21 3
r. a^ 3' n^P'i^\ d'après M. Schhmilch 280
Note sur l'article précédent ; par M. Prou/tet 281
Note sur la différence de deux puissances consécutives; par
M. Tronsens 3i 1
6ur une décomposition de carrés ; par M. Souillart 320
Décomposition d'un carré en facteurs inégaux; par M. C. Kessler, .^ 435
Aialjse ilgorilkHiqie^ DéteraiDUts.
Théorème sur un certain déterminant de M. Roberts; démontré par M. Cremona 9, 1 5i
Théorème sur un certain déterminant de M. Painvin; par
M. Baehr. 170
Théorème sur le produit de déterminants ; par M. Souillart. . 32o
Contacts des cercles et des sphères démontrés par les déterminants; par M. Bauer 442
{467) Calcil iiliitésiul^ Ifritées; séries.
Pages.
Omvei^noe de la série
par MM. Kessler et Lemoine 34
Construction géométnqoe d'une fonction elliptique; f>ar
M. Ch. Kessler i6a
Sur les fonctions elliptiques ; par M. Sirebor i85
Identité de deux expressions du reste de la série de Taylor ;
d'après M. Jurgensen 3o8
Nouvelle somme du reste de la série de Taylor; d'après M. E.
Roche 3iï
fiétaétrie éléBeaUire.
Rapport du vide au plein dans une pile de boulets; par M. Fleury ' 9
Volume engendré par un triangle raixtiligne. ii, i3, i58 et i6o
Volume compris entre un cône et deux sphères inscrites ; par MM. Emile Françoise, de la Brière, de Charodon et Drouard 1 3, Sa et i88
Le triangle a un sommet fixe A, un angle constant à ce sommet; les deux autres sommets sont sur une droite fixe; l'enveloppe du cercle circonscrit est un cercle; par MM. Bellaviîis, Mannheim, Genocchi 1 1 5
L'enveloppe d'une droite dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est constante , est une conique ; par MM. Erault, Laquière, Ragonneau, Marquet, Dalican, i4i
Equation d'une sphère circonscrite à un tétraèdre; par M. Cremona 149
La podaire du centre d'une circonférence sur les tangentes à sa développante est une spirale d'Archimède ( Mannueih ) ; par M. Marins Laquière 1 86
Théorèmes sur le tétraèdre ( Staudt) ; par M. Gentd ti 1 8
Relation entre les trois côtés d'un triangle et les distances de ses trois sommets à une droite située dans son plan (Salmon) ; par M. fViari a83
Théorème sur les cercles qui touchent les côtés d'un triangle;
Pages.
^srVL.Nagel 355
Analyse géométrique, Méthode Grasmann ; par M. Cremona., 356 Propriété d'un triangle circonscrit à un cercle; par M. Joseph
Harcourt 439
Théorème de M. Nagel sur les cercles inscrits dans un trila-
tère; par M. Housel 44o
Cercle tangent à trois autres, sphère tangente à quatre autres;
par M. Bauer 44i
GéoaétrM segieiliire.
Tétraèdre coupé par un plan ; par M. O. Hermès «6
Triangle inscrit dans^un triangle ; faisceau de trois droites partant d*un point fixe et par trois sommets d*un triangle, et formant des segments sur les côtés du second triangle ; propriété segmentaire; par MM. Kessler et Lemoine, Martin et Joseph Derbes 91
Étant donnés cinq points d'une figure dans l'espace et cinq points /lomographiques d'une seconde figure, construire cette seconde figure par un moyen perspectif; par M. Poudra, . 108
Propriété segmentaire des coniques i54
Transformation des propriétés métriques des figures : i*^ points situés sur une même droite; 2"" segments situés sur des droites parallèles ; 3** points situés sur une conique ; par M. Faure 189
La perpendiculaire abaissée du sommet d'une parabole sur une tangente, et prolongée jusqu'à la courbe, est divisée par le sommet en deux segments, dont le produit est constant; de même pour l'hyperbole équilatère; par M. J. Lescaze aaS
Équations du quatrième degré, rapports anharmoniques ; par M. Painvin 4*>7
TrigMoaétrie plaie et spbériqie.
Exercices ao
Formules de firetschneider aa
Équation d'une sphère circonscrite à un tétraèdre ; par M. €re-
mona 149
Recueil de formules 4at
(469) Goiiqies plues et sphériqies.
Ps^es.
B^yon de courbure d*une courbe et celui de la développée ; par MM. JoliveUCy Siachi et Kesslèr 83 et 216
Une conique C et une courbe plane A quelconque ; de tous les points de A on mène deux tangentes à G ; par les points de contact, on mène des normales à C ; lieu de l'mtersection des normales ; par M. Deshovcs 47
Conique; T^ et T, deux tangentes fixes; A, B deux points fixes; S tangente mobile rencontrant T, et T, en D et E; les diagonales du quadrilatère ABDE se coupent suivant une conique ; par M. Ch, Kessler 80
Propriété d'une corde passant par un foyer ; par MM» Maillot et VoUant 85, 88 et 98
Nouvelle construction des axes d'une ellipse au moyen des diamètres conjugués ; par M. Somoff 122
Lieu géométrique de deux droites passant, Tune par le foyer et l'autre par le sommet le plus éloigné de ce foyer; droites assujetties à certaine loi ; par M. LengUcr i23
Étant donné un point fixe A et un point fixe B sur une droite, menant une tangente à une courbe rencontrant la droite en C, et par A une parallèle à cet(^ tangente rencontrant la droite en D; si BC~*-l-BD~* est constant, la courbe est une conique ; par MM. Léon Rabeau et Ch. Kessler i54
Propriétés des coniques spfaériqueshomofocales; par M. f^annson , ^ 197
Parabole et hyperbole équilatère (voir Géométrie segmentaire). Si de la directrice d'une ellipse on mène deux tangentes prolongées jusqu'au cercle principal , la droite qui joint les points de rencontre est parallèle à la corde de contact ; par M. ^. Lescazc 229
Quatre propriétés d'une normale à l'ellipse; par MM. Honoré Prat, Marcy Gressier, Jules Faure^ Sapftore 235
Lieu des pôles des cordes qui, dans les courbes du second degré joignent les pieds des normales menées d'un point de la développée ; par M. Desbovcs 253
Démonstration de quatre théorèmes de M. Chasles sur les coniques homofocales ; par M. Cremona 260
Sur le théorème Faure et courbes parallèles ; par le révérend G. Salmon 345
( 470 ) Sarfaces 4h secoad ordre.
Pages.
Cercles osculateurs et surfaces osculatrices dans les lignes et surfaces du deuxième ordre ; par M. Ducoroy i\9
Application algorithmique. Centre, plans conjugués, polaires
réciproques, génératrices rectilignes ; par M. Painvin 144
' Ellipsoïde et surface des ondes 184
Propriétés des tétraèdres conjugués dans les surfaces du second degré ; par M. Painvin ago
Lieu des sommets d*un angle trièdre dont les faces sont tangentes à yn ellipsoïde A et parallèles à trois plans diamétraux conjugués de Tellipsoïde B ( question du grand Concours] ; par M. Lemoine 449
Intersection d'un cône de révolution par des normales à ce cône ; par M. C, Ressler 43ft
Goorbes plaies ei géiérai.
Courbe logocyclique ( Booth ) tZ^ el 79
Théorème sur les courbes parallèles ; par M. Strebor 33
Rayons de courbure des épicycloïdes ; par M. Dieu ia5
Sur les polaires inclinées; par M. Dewulf, 175
Courbes à plusieurs points d'arrêt ; par M. Hermann Laurent, . 1 10
Rayons de courbure vus sous un angle donné ; par M. Lccocq, a85
Courbes parallèles ; par le révérend Salmon 348
Propriété des tangentes; par M. Kessler 434
Géométrie de l*es|Miee; Lignes et Surfaees.
i*'L = o;M=o;N = o;P = o; quatre surfaces de degrés /, m, n^p\ le lieu du point dont les plans harmoniques se coupent suivant un même point est de degré /-h/w-f/i-l-;»— 4a"* Lieu du point dont les plans harmoniques par rapport à trois surfaces se coupent suivant une droite. 3** La surface enveloppe de toutes les surfaces de degré /, dont les coefficients sont des fonctions de degré m, trois paramètres liés par une relation de degré /t, est en général d'un degré
/;î[(m 4- /î - 2)'-f- 2(/iï - 1)»];
par M. Moutard. ; 58
Études géométriques sur la cyclide : f*' transformation de trois sphères en trois autres dont les centres sont en ligne
Page», droite ; 'à'' transformatioii d'une cyclide en tore ; 3"" les lignes de courbure de la cyclide sont des circonférences dont les plans coupent la cyclide sous un angle constant; et autres propriétés de cette surface ; par M. Mannheim 67
Courbes isopérimètres tracées par une surface et renfermant une aire maximum sur cette surface ; et de la ligne géodésique, équation différentielle des courbes planes qui, enroulées sur un cylindre droit à Taxe circulaire, donnent des courbes dont le rayon de première courbure est constant ; par M. AeU 100
Sur les. courbures des lignes; théorèmes sur la ligne géodesique, sur l'ellipsoïde et sur les lignes de courbure ; par M. Bôklen i36
Analogie entre la surface des ondes et Tellipsoïde; par M. Streùor ig4
Coniques sphériques homofocales ; par M. Vannsoh 197
Des coordonnées paraboliques et de leur application à la géométrie des parad)oioïdes ; par M. C-Alph, Foison 299
Cubique gauche ; par M. Cremona 356
Théorie générale des systèmes de rayons rectilignes; par M. E,-E, Kummer ( traduit par M. Dewulf) 36a
Génération de surfaces et de volumes par mouvement; par M. Emile Barbier 463
GJovélrie 4escripliTf et Perspectife.
Intersection de deux surfaces de révolution du second degré;
par M. Gros 29
Deux figures en perspective dont les plans tournent autour de
leur commune intersection ; par WA, Carénou et Laquière. 97 Cartes géographiques ; par M. Tissot 457
Géométrie da eompas.
i** Trouver le centre d'une circonférence ; 2° construire le côté du décagone ; par M. Georges Delisle 35
■écuiqie.
Sur la loi des petites oscillations du pendule simple dans un
milieu résistant ; par M. H, Resal i65
Chute des graves et pendule; par M. Fink 449
Pbjiifie ■alfcfMtiy,
PafSi.
Note sur les ondes .^ 353
tféiuges.
Trigonométrie de M. Chamenet ai
Biographie de M. George Delisle ; par M. JMgaet 37
thttsIiMS réMliet .
Question 190; par M. Dupain 3i5
Question 273; par BIM. Bellavitis, Mannheim^ Genocchi ... 1 15
Question 4o5; par M. SouiUart 3ao
Question 407; par M. deJonquières 3i<>
Question 416; par M. Gerono 38
(gestion 418; par MM. Carénou, Laquiére ^
Question 43a; par M. Baehr 170
Question 436; par MM. Brauk^ Laquiére, Ragonneau, Mar-
quei, Dalican * i4i et 170
Question 438 ; par M. Marias Laquiére 186
Question 461 ; par MM. Ch, Kessier, Lemoine 34
Question 464; par M. Cremona 149
Question 465 ; par M. Cremona i5i
Question 478; par M. fViart a83
Question 483 ; par MM. Émiie Françoise, de la Briére, iie
Charodon, Drouard, Théofik Hazan^ Jules Puech
II, 5a, 54, i58 et 160 Question 484 ; par MM. Emile Francise, de la Briére^ de Charodon, Théofik Hazan, fuies Puech .... i3, 5a, 54, i58 et i6o
Question 485; par M. Emile Françoise i3
Question 488; par M. Ch. Kessier, 80
Question 492 ; par M. Ch. Kessier^ Lemoine 91
Question 493 ; par M. €ie Jolivette i
Question 498; par MM. Ch, Kessier, Cremona i54 et 369
Question 5oo; par M. de Firieu 393
Question 5oa; par BIM. Larrose, Maillot, Follara 85, 88 et 93
Question 5o4 ; par M. Charles Kessier i6a
Question 5i4 ; par M. Gressier a3o
Question 517; par M. Honoré Prat a35
Question 5i8; par M. Hwtoié Prat a37
Pages.
Question 519; par M. Honoré Prai 2^8
Question 5ao; par M. Honoré Prat aSg
Question 624 ; par M. Painuin ago
Question du grand Concours de 1860; par M. Lemoine. 349
Questions de V Algèbre Bertrand ; par M. Malhieu 370
Question 542 ; par M. C. Kessler 435
Question 544; par M. C. Kessler 437
Question 554; par M. C. Kessler 434
Question d'admission à l'École Normale; par M. C. Kessler.. 439
tiesliras proposées.
Questions 498 à 5i3 46
Question 5o3. — Correction 5i .
Questions 5i 4 à 521 94
Question 522 ^ 195
Questions 523 à 527 233
Questions 528 à 534 ^47
Questions 535 à 539 3o6
Grand Concours de 1860 :
Mathématiques spéciales 323
Logique. — Sciences 324
Logique. -— Lettres ^ 326
Réthorique. — Sciences 327
Concours d'admission pour l'École Normale en 1860 328
Concours d'admission pour l'École Polytechnique en 1860. . . 33o
Concours d'admission à l'École de Saint-Cyr en 1860 333
Questions 54o à 544 36i
Questions 545 à 553 404
Questions 554 à 557 464
( 474) TABLE DES NOMS PAR ORME ALPHARfiTI^IIE.
( Les noms des Collaborateurs sont précédés d'un astérisque. )
Page».
ABEL 1 8 et 44
AGUIUON 4 6a
AMPÈRE 3io
*BAEHR, professeur à Groningue 170
BARBIER (Emile) , élève de TËcole Normale 463
