PROCÉDÉS DE MULTIPLICATION USITÉS AD MOYEN AGE EN ITAUE
i^. La figure çxplique suffisamment le procédé. C'est la multiplication de i56y par 3a6. On fait les additions diagonalement. Le produit écrit autour est 1488843.
Nv 2 4\^
Nv 4 1 N^
Ce procédé se nomme per gelosia. La figure simule les jalousies d'une fenêtre.
Notre procédé actuel portait ces trois noms : 2^. Per scacvhero, par échiquier:
Per baricocolo, espèce de petits gâteaux rouds \
Per organettOj petit orgue.
B y avait encore les procédés :
3^. Per colanna^ On multiplie de télé tout le multiplicateur par chaque chiffre du raultiplicande et on n'écrit que les unités en retenant les excédants^ de sorte qu'on obtient tout de suite le produit sans avoir recours aux produits partiels. v
4**. Per repwgOj par composition 5 plutôt par décomposition en facteurs.
5^, Per crosetta, en croix. On additionne de tête toutes Jes unités, les dizaines, les centaines^ etc., ce qui oblige de multiplier en croix, et on obtient le produit sur une seule ligne. Ce procédé est encore en usage dans la multiplication par approximation.
6®. De Fiorentinî, des Florentins. On fait la multitiplication de gauche à droite.
7°. Per spezzatamentOy par morcellement. On décompose le multiplicateur par voie d'addition ; ce qui rend l'opération moins péi;iible. Exemple :
ao =3 + 4 + 5 + 8;
le produit par 6 se conclut de celui par 3 ; 8 de celui par 4, et 5 n'exige qu une dimidiation.
(Tartaglia, General Traitato cU numeri, libro secondo, p. 26). Cet ouvrage de i546 contient beaucoup de prix de denrées et de marchandises qui présentent de l'intérêt pour les économistes.
EXTRAIT D IINB LETTRE.
Le n'^ I de 1 858 du Bulletin de la Société des Sciences
( i5 ) historiques du département de l'Yonne renferme diverses lettres de Tillustre Fourier.
Dans celle du 32 mai 1788, adressée à M. Bonnard, son maître et son ami , datée de l'abbaye de Saint'^Bett'Oitsur-Loire, où il commençait alors son noviciat de béné*dictin, ou y trouve l'énoncé d'une question qui peut4tre par sa singularité pourra , si vous le jugea convenable j être soumise aux lecteurs des Nouî^ttes Annales,
« Voici , dit Fourier à son ami ^ une question d'un I) genre assea; singulier* Elle me vient d^ns l'esprit au 9 sujet de certaines propositions d'Euclide <lont nous » avons parlé quelquefois.
)) Disposer dans un même plan 1 7 (m ) lignes droites » de manière qu^eUes donnent 101 (n) points d'inter^ » section. Il faut supposer les lignes prolongées à Vin- » fini et qu'un point d^ intersection n appartienne pas » à plus de deux lignes. Il faut ramener le problème à » une pure analyse^ en sorte que m et n étant déter^ » minés^ on puisse pan^enir aux équations nécessaires. » Dans une autre lettre, Fourier déplore le malheur de sa situation.
« N'est*ce pas, dit-il, être condamné k l'ignorance » que de ne pouvoir lire d'autres ouvrages que les siens» )) C'est une privation dont toute la philosophie ne peut » se consoler. Je n'ai de livres à lire qu'un chétif exem- » plaire de Montaigne auquel il nuinque des feuillets que » je suis réduit à deviner. Je m'occupe un peu de grec; TU wus croirez bien que c'est plutôt pour lire Euclideet » Diopbante quePindare etDémosthènes....
Et plus loin :
n J'ai encore travaillé ces méthodes d'élimination; il » n'est pas diiScile de reconnaître conJ>ien celles dont » on fait usage sont défectueuses, mais il Test beaucoup » de leur en substituer de meilleures. Vous voyez bien
( .6 ) » qu'il faudrait que j'eusse sous les yenx Pouvrage de » M. Bezout sur le même sujet. Seul et sans secours , on » peut méditer mais non découvrir : souvent on fuit les )> hommes, on en devient meilleur mais non plus savant. » Le cœur y gagne et l'esprit y perd, etc. »
Cette lettre est datée du aa mars 1789, et à la suite se trouvent ces mots où le grand .analyste laisse entrevoir la prescience de sa grandeur future.
<c Hier j'ai eu vingt^quatre ans accomplis; a cet âge » Pascal et Newton avaient acquis bien des droits à Tim* » mortalité. »
Fourherat,
Membre de la Société historique de ITonne,
à Ancy-le-Franc.
NAGHINE A GAIGDLER DE SCHEUTZ PERFECnONNÉB.
Tout géomètre connaît la célèbre machine à calculer les séries, due au génie de M. Scheutz, Suédois, ou du moins en a entendu parler. Cette machine est fondée sur la théorie des différences introduite aujourd'hui dans l'en* seignement. M. Donkin, célèbre constructeur anglais, vient d'apporter quelques perfectionnements a cette admirable production. Un rapport approhatif est signé par MM. G.-G. Stokes, C. Wheatstone, R. Villis, et un second rapport aussi approhatif par l'illustre astronome G.-B. Airy (en date du 3i août iSSp). Par cette mac]|ine perfectionnée une Table àH annuité sur la "vie a été calcu^ lée et imprimée en soixante-quinze minutes; un calcula* teur par la voie ordinaire y mettrait c^mt soixante-quinze minutes, et encore le contrôle exige deux calculateurs. On ne peut rien ajouler à de tels noms, à une telle expérience.
BlBUeClAPlUB.
JouRHAL Fi}R DIE Reihb vjxb Akgewaiidte M jLTHEMÀTIR (GaELLE, t. LVII » a* cahier, iSS^ )
(votrt. V. p. 7C).
Mécanique.
« Clebsch (de Carlsruhe) (p. 93 à iio). Sur la figure d'un fil flexible,
ConDaissant la fonction des forces , Jacobi ramène les éqaations du mouvemeut à une certaine équation aux différences partielles. M. Clebsch applique la même méthode à la recherche de la figure que prend un fil flexible soumis k l'action de diverses forces en équilibre; le Mé* moire contient neuf paragraphes :
i^. Équations générales, Uétant la fonction des forces, T la torsion qu'éprouve l'élément ds , toute la théorie re«
pose sur ce que j Vds doit devenir un maximum entre
des limites données. On trouve pour l'équation aux différences partielles
fdfy (dvy /d\y idv ^a» ^ dv „
où V est une fonction de x, j^, z, 5, renfermant trois constantes arbitraires A, a, i, et Ton trouve pour la figure cherchée
dS dV ^ fiV
""^Th' "=50" P=rfï* KjOLy^ sont trois nouvelles constantes.
Bulletin mûthémati^w, t. VI. (Mira 1860.) 3
2°. La chaînette ordinaire.
3°. Les deux extrémités du fil sont attachées à un axe de rotation 5 la figure d'équilibre est telle, que le mo* ment d'inertie du fil relativement à Taxe devient un maximum , elle est indépendante de la grandeur de la vitesse initiale; et on ramène l'intégrale à une fonction elliptique de troisième espèce. La figure est hélicoïde, se rapprochant et s'éloignant alternativement de Taxe.
4°. Lorsque le fil n'est pas libre; il est tenu de rester sur une surface donnée.
5**. Lorsque la surface donnée est de révolution.
6^. La chaînette sur la sphère.,
7**. Fil sur une sphère tournant autour d'un diamètre.
8^. Fil mince doué d^ élasticité , et dont la section transversale est si médiocre, qu'on peut négliger la résistance à la flexion.
9**. Fil mince soumis à la pesanteur.
Les deux derniers problèmes sont résolubles par des équations analogues à celles qu'on a trouvées pour les fils privés d'élasticité..
A. Clebsch (p. i49 à i68). Sur V équilibre des corps flottants.
La plus ancienne théorie sur la stabilité des corps flottants est celle du métacentre. En supposant le corps infiniment peu dérangé de sa position, on cherche les conditions qui doivent être remplies pour que le corps manifeste des dispositions à revenir dans sa première position , et l'on regarde la position comme stable et seulement stable lorsque cette condition était remplie. Celte théorie a été critiquée et rectifiée par M. Duhamel [Jour* nal de V École Polytechnique , Cahier XXIV). On pour-
( '9 ) rait signaler encore d'autres défauts de Fancieûne théorie ^ il peut se faire que le corps , dans le premier moment, no soit pas ramené, augmente, s'écarte davantage et soit ramené par Teffet des pressions hydrodynamiques avant que lies oscillations aient acquis une étendue appréciable. Dans ce cas le corps serait stable , contrairement à la règle du métacentre.
Abandonnant cette règle , on cbercba les équations des oscillations du corps, et l'on s'approcha ainsi d'une solution plus rigoureuse^ on trouve ces équations dans les traités de Poisson et de M. Duhamel . Toutefois ces équations sont fondées sur la supposition que , dans ces mouvements infiniment petits', on peut remplacer les pressions hydrodynamiques, celles qui résul len t du mouvemen t du fluide, par les pressions hydrostatiques que le fluide exerce quand il est en repos. Il est vrai que ces deux sortes de pressions diffèrent de quantités infinin^ent petites, de Tordre des vitesses ^ ce qui n'autorise pourtant pas à négliger les pressions hydrodynamiques ; car dans le voisinage de l'équilibre les pressions hydrostatiques se détruisent mutuellement*, mais il n'en est pas ainsi des pressions hydrodynamiques , car elles réagissent contre le mouvement du corps, et leurs effets sont du même ordre que l'effet total de la pression hydrostatique.
II résulte de là que les équations de mouvemeiit des corps flottants données jusqu'ici sont non-seulement inexactes, ne donnant au plus qu une première approximation^ mais sont complètement /au^^e^^ car elles négligent des termes de même ordre que ceux que Ton conserve.
M. Clebsch, et c'est le point principal de ce Mémoire, a égard aux termes négligés, et parvient, pour représenter le mouvement des corps , à une équation transcendante, par conséquent susceptible d'une infinité de formes,
(ao) ei la stabilité a Heu lorsque cette ëqaatiou n'admet que des racines négatives. La difficulté du problème n a pas permis de traiter à fond un cas spécial 9 et encore moins d'indiquer une règle générale simple.
Analyse.
C. W. BoRCHARDT (p. m à lai). Sur la représentation d'une résultante d'élimination correspondante à une représentation interpolatoire.
Soit
une fonction entière donnée par les valeurs
faisons
/(x) = (x — a,) (jc — a, ) (x — a,) . . . (jr — ««) , on a
i = il
«rf
(théorème connu).
C'est ce développement de f or qui est la représentation interpolatoire de f x.
Le but de ce Mémoire est celui-ci :
Soient les deux fonctions algébriques entières de degré n
chacune de ces fonctions est donnée par les ^valeurs qu'elles prennent en faisant
c'est*à«dire qu'on donne for,, tf^a^, 1 prenant les valeur» depuis zéro jusqu'à n ; Télimination de z donne «ne résul-*
iante fanction des coeffidents qu^on trouve de ces fonctiona, et ces coefficieots sont des fonctions de fa,-, ^a,- ; il s^agît d'établir directement, immédiatement cette résultante en fonctions de f (a«) , fp (a,).
M. Caylej a démontré (Nouuelles Annales, t. XVEI, p. 397) , que si l'on développe l'expression
suivant les puissances de x et dey, et aa JC*/* étant un terme général. Alors le déterminant D formé par les coefficients ail [ialk prennent les valeurs de o à n) donne la résultante. M. Borchardt suppose que les fonctions tfx et ^ (x) sont données soi» foime interpolatoire
+ «1- fx
Par d'admirables considérations sur un déterminant d'or^ dre (71 + 1)*9 le célèbre analyste parvient à trouver D en fonction de F (a,-, cci)\ ieik prenant toutes les valeurs de o à n.
M. Rosenham a le premier traité cette importante question (Crelle, t. XXX) , en supposant que (f(z) est donné par les n valeurs o (a,) et^j; (^) par les n antres valeurs ^ (/3.) j pour passer à la forme interpolatoire, il faut supposer que les a et les (3 coïncident, ce qui amène une grande complication, que M. Borchardt a évitée en abordant le problème directement. On apprécie Futilité
(aa) de ces recherches en considérant que dans les sciences physiques , les fonctions ne sont données que par leurs valeurs numériques.
C. W. BoECHÀRDT (p. i83 à i86). Comparaison entre deux formes de la résultante d"" élimination d'une inconnue entre deux équations,
i®. Première méthode d'Euler :
y(x) = fl« X* -h a^^t aT"^ -f- . . .
'»« = ««{-ï' — ai)(^— «a). • \x — gt.), y(x) = *« «" 4- ^«», x**-' -4- . . .
On forme le produit
Désignant la résultante de ^élimination x entre f(x) = o et 9 (x) = o par R , on obtient
Pour avoir P, désignons par A («i, a, , . . . , a„) le produit «A — «i î on prend toujours k > i ; A est connu en fonction des coefficients de f(x).
Posons
A = A(a,, a,,.. ., a«), B = AXp,,p,,...,p^).
'» p.> p:-..>pr
1 M+ll— t
oa aura D = (— i)*"" ABP , d'où P = fg-
2®. Deuxième méthode d'Euler; = celle de Bezout; = dialy tique de Sylvester.
On élimine les puissances x*, x*, a:", . . . , x""*^"* entre les m + /i équations
o=/j?; . 0==x/x; . . ., o==^-'/j:, o=fj:; o = x<px; ..., o = 4:*~*çj:,
et Ton obtient la résultante, au moyen du déterminant
<7«, ^1,. ... /In
O a«, . . . , Om—x o.o,
o o, , o.o/io, a, , . . ., a^
^•, ^1, , ^«-1, ^yiî o,. ,0
Oo» ^ij > ^»i,^«,0, O
Les chiffres placés à gauche du premier trait indiquent les rangs des lignes horizontales.
Il faut démontrer Y identité T= R.
Multipliant, d'après la règle connue, les déterminants D et T, on obtient un nouveau déterminant, lequel étant développé donne
D.T = AB/p,/p,. . . /p.. Ta, «pa,. . . ya.
d'où
O. Hesse (à Heidelberg) (p. lyS k i8a). Nouvelles propriétés des substitutions linéaires qui transforment des fonctions homogènes du second degré en d^ autres qui ne contiennent que les carrée des variables.
M. Kummer est parvenu le premier & décomposer en carrés le carré du produit des différences des racines d'une équation ciibique , problème d'où dépend la recherche des axes principaux d'une surface du second ordre (Crelle, t. XXVI, p. a68).
Ensuite M. Borchardt, à Taide de la théorie des déterminants, est arrivé au même résultat, et Ta généralisé pour une fonction de degré n\ ce qui fournit un moyen de calculer les perturbations planétaires (Crelle, t. X3^ , p. 38).
Déjà Jacobi avait déduit le résultat Kummer de formules entièrement nouvelles (Giomale Arcadico, t. XLVIII), et (Crelle, t. XXX, p. 46) *, la dernière de ces formules est surtout importante; elle conduit k des propriétés nouvelles, but de ce Mémoire.
Soient Xi , Xt,. . •, X^, n variables liées aux n varia-
(-.5) bics .Ti , r, , . . . , x„ par les /* équations linéaires
X prcnanl successivement les valeurs i, a, 3,. . . , fi, on en déduit
(2) x^=: ^','^) X. ^ tfWx, -h. . . -h^W X„, formons un nouveau système de n équations
(3) Y, = eM y, -H cW /, -+- . . .-h ^W/-, d'où Ton déduit
et aussi Tidentité
(5) X,y.H-X,Y,-H...-hX„Y„=:j:,/.-hJr.r>+--*--^''^« Ci- Si 1 on élève les deux membres de^Téqualion (5) à la
;i*^"' puissance, et si l'on supprime de part et d'autre le
produit continu JJ (/*)=: i .2.3, . . /», on obtient Tidenlité i .
