B8TI0N DU 6RAND CONCOURS GÉNÉRAUSÉI
(TOir L XYIIJ, p. T7, iei «t 194 ) ;
Pab m. desbotes,
Profetteur.
On donne dans un même plan une conique G et une courbe quelconque A ; de tou» les points de A on mène deux tangentes à la conique, et par les points de contact les deux normales correspondantes ; il faut trouver le lieu B des intersections de ces normales^
Réciproquement, connaissant la courbe B de tous les points de cette courbe , on mène des normales à la coni-* que C , et par les pieds des normales les tangentes correspondantes; on demande de trouver le lieu D des intersection» de ces tangentes.
Remarque. Le lieu D pourra être identique awîc la courbe A; mais plus généralement il se composera de plusieurs courbes distinctes , dont la courbe A fera nécessairement partie.
On a un exemple du premier cas, lorsque B est une ligne droite et la conique C une parabole *, alors la courbe A et la courbe D sont identiques, et représentent toute» deux une hyperbole.
On peut donner du second cas deux exemples remarquables :
i^. Lorsque la conique C est une parabole, et que la eourbe A se confond avec elle, la courbe B est évidem-* ment la développée de la parabole*, mais si Ton prend pour ligne B la développée de la parabole, on trouve que le lieu D se compose non-seulement de la parabole C y Buiis aussi d'une seconde parabole qui a même axe que 1»
( 48 ) ][>remière ^ un paramèlre huit fois plus petit et la con* vexitë tournée en sens contraire.
a^. La conique C étant une parabole , et la ligne A une perpendiculaire à Vaxe de la conique (c'est le problème particulier du concours général), on trouve que B est une parabole ayant même axe que la parabole C ^ mais si on se donne pour ligne 6 la parabole précédemment trou^^ vée, on voit que le lieu D se compose de la perpendiculaire à l'axe de la parabole, et d'une hyperbole du troisième ordre ayant pour asymptotes Taxe de la parabole et une perpendiculaire à cet axe.
"Voici quelques théorèmes généraux, qui lient entre elles les courbes A et B.
Théorème I. Lorsque la courbe A est la plus générale de son degré, la courbe B est de degré double si la conique C est une parabole , et de degré triple si la conique C est une ellipse ou une hyperbole. Une discussion qui n^exige pas que Ton connaisse Téquation de la courbe B , fsftt connaître les ras particuliers où le degré de cette courbe s'abaisse.
Théorème II, La réciproque du premier théorème est vraie : en général , le degré de la courbe D est double ou triple du degré de la courbe A, suivant que la conique C est une parabole, ou bien une ellipse, ou une hyperbole.
Théorème II J. Si la conique C est une ellipse ou une hyperbole , et si la ligne A a une branche de courbe infinie ayant pour asymptote /3 = Xr a + A (Ar n'est ni nul ni infini) , la ligne B a une branche infinie correspondante, dont Tasymptote est
{*) 4i,bf c sont les demi-axes et U demi-excentricité de la conique.
(49) Cette asymptote devient une normale k la conique , lors'^ que la préhiière est une tangente à cette même conique.
Théorème IF. Sî la conique C est une parabole , et si la courbe A possède une branclie infinie ayant pour asymptote une droite non parallèle à Taxe de la parabole C, la ligne B aura une brauche infinie perpendiculaire à la première à Finfini , mais cette branche ne pourra avoir d'asymptote que dans le cas où Tasymptote de A sera . tangente à la parabole t]!. D*ailleurs dans ce cas même l'asymptote n'existera pas nécessairement^ mais si l'asymptote de A est parallèle à l'axe de la parabole C , la courbe B a toujours une asymptote normale à la para-bole.
Théorème V. Si la ligne A passe par le centre de la conique C , et qu'en ce point le coefficient angulaire m de la tangente à la courbe A ne soit ni nul ni infini , c'està-dire si la tangente n'est parallèle à aucun des deux axes ^ la ligne B a une branche infinie ayant pour asymptote
Théorème FI. Lorsque la conique C est une hyperbole, outre les asymptotes données par les théorèmes précédents, la ligne B a encore des asymptotes en nombre généralement ^al au nombre des points d'intersection de la ligne A et des asymptotes de l'hyperbole C. Voici la construction à faire pour obtenir l'asymptote correspondant à l'un des points d'intersection.
Par le point d'intersection qu'on a choisi, on mène une tangente k l'hyperbole C, puis par le point de contact une normale à la même courbe; l'asymptote de la ligne B sera parallèle h cette normale. On aura ensuite l'abscisse à l'origine de la même asymptote en prenant
Ànn. de SHathémal., t. XIX. (Février 1R60.) 4
une quatrième proporiionnellè aux axeft a et £ et à moins l'ordonnée à l'origine de la normale précëdente.
Les. théorèmes généraux précédents conduisent immédiatement aux conséquences suivantes :
1 . Lorsque la conique C est une parabole et la ligne A une ligne droite, la ligne B est une parabole dont Taxe est perpendiculaire à là ligne droite donnée. Dans le cas particulier où la droite A est tangente à la parabole C ou parallèle à Taxe de celte par^ole , la ligne B est une normale à la même courbe (théorèmes I et IV).
2. Lorsque la conique C est une ellipse ou une hyperbole, et la ligne A une ligne droite ^ = Aa +• A, la ligne B est du troisième ordre , et a une asymptote
Dans le cas de Thyperbole, le théorème VI donne deux autres asymptotes.
Ces derniers résidtats ont déjà été trouvés par MM. Terquem et de Jonquières.
3. Lorsque la conique C est une ellipse ou une hyperbole, et la ligne A une droite P = mec passant par le centre de la conique, en vertu des théorèmes III et V, la ligne B est une hyperbole qui a pour asymptotes
Dans le cas particulier où la ligne A est Tune des diagonales du rectangle construit sur les deux axes de la conique C , la ligne B est une droite perpendiculaire à la diaganalc^ menée par le centre de la conique.
4. La conique C étant toujours une ellipse ou une hyperbole , et la ligne A devenant une parallèle à l'un des axes de la conique , le coefficient k du théorème IV de-
vient nul ou infini , et Ton ne peut plus affirmer Texis*^ tence de la branche infinie de 6 et de son asymptote. Dans ce cas on trouve très-facilement y par un calctti direct , que la ligne B est une ellipse ou uue hyperbole, suivant que la conique C est elle«-mème une ellipse ou une hyperbole. Tous les théorèmes éi^cés sont la conséquence des formules suivantes :
Les deux premières sont relatives à la parabole rap«portée à son axe et à la tangente au sommet, et les deux dernières sont relatives à Tellipse et à l'hyperbole rapportées à leurs axes : a et |3 sont les coordonnées d'un point du plan de la conique C d'où l'on mène les tangentes a cette courbe^ x ely sont les coordonnées du point dHntersection des normales correspondantes.
Remarque, Les formules que nous venons d^écrire conduisent aussi de la manière la plus simple aux équations des développées des coniques.
Note du Rédacteur, La courbe B a-t-elledes points doubles et de rebroussement ? et combien? Ces données déterminent la classe de la courbe.
QUESTION 503
Correction. a'-4-i4«*-hi doit être élevé au cube. (Communiqué par M. Le Royer, professeur de spéciales au lycée de Bordeaux.)
S«LIITION DIS QUISTIONS 483 ET 484
(TOir t. XYIII, p.Sn);.
Pau mm. DE LA BRIÈRE et DE CHARODON,
Élèyes de l'école des Garm^ classe de M. Gcrono).
Question 483.
Le volume engendré par le triangle rectiligne ABD
tournant autour de AD est
^frAB.AD.
Le volume engendré par le triangle mixiiligne ABC est égal au volume engendré par le trapèze ABCD moins le volume engendré par le segment AC. Or, le volume engendré par le trapèze est
^frAD(BÂVDcV AB,DC) j
le volume cfngendré par le segment est
5,Ad(-DC-h-Ad);
le volume engendré par le triangle mixtiligne sera donc
I / — » -— « 3 — « i — »\ -wAD AB-h DC-h AB.DC DC — - AD ).
(53) Il faut donc prouver qu'on a l'égaliu*
(aB-I-IKJH-AB.DC— -DC AD ) =-
^irAD|AB-*-IKJH-AB.DC— ^DC — ^AD ) =^ffAD.AB,
ou bien
DcV AB.DC DC'— - Âd'= o,
