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AM ^ BM.

Corollaire (*), Si Ton place Tellipse de sorte que son grand axe soit vertical, une droite pesante et homogène AB sera en équilibre si elle passe au foyer.

€ar la résultante des réactions est égale et opposée à la pesanteur qui s'applique en M.

Remarque, La condition que la droite passe au foyer est suffisante pour l'équilibre, mais est-elle nécessaire? Ou plus généralement : Si par le point de rencontre des

FlG. 3.

normales qui ont leurs pieds aux extrémités d'une corde quelconque on mène une parallèle au grand axe , dans quel cas cette parallèle coupe-t-elle la corde en son mi-r lien ?

Soient

( I ) y z=z mx-^ n

Téquation de la corde AB ;

(*) Cette partie de colle belle sulution a déjà été traité* (tome XVII, paffc 195). Tu.

celle de Tellipse. Les coordonnées des points A, B, intersections de la corde et de l'ellipse, sont

— <i' mn ± ab ^a^m^ -h b* — ni

"" a^m'-hb^

Les équations des deux normales menées par ces points sont de la forme

L'ordonnée du point K où ces normales se coupent est , ayant égard aux valeurs trouvées de x' et de y'

oùc* = a* — b*.

Nous auroQS la relation cherchée entre m, n^ en exprimant que yi est égal à la demi-somme des ordonnées des points Â, B3 cette demi-somme , d'après l'équation (3), est

Égalons les équations (4) ^^ (S)? îl ^îe>i^ /i = ± me.

Doue l'équation de la corde sera

Le double signe convient à la question géomélnquei

(9« ) mais celle d'équilibre est moins générale et n'admet que le signe positif. En discutant cette équation

on voit que pour l'équilibre il faut, si m n*est pas infini, que la droite passe au foyer; si m est nul, elle coïncide avec le grand axe-, mais si m est infini, la droite est horizontale et en équilibre dans toute la moitié inférieure de l'eUipse.

(rolr t. XVIIl, p. 44S);

Pae mm. CH4&LES KESSLER et Emile LEMOINË, Élèves du Prytanée MiliUire.

Lemnie. Dans un triangle ABC si tix>is droites parlant des sommets AK', BK'^, CK'^'^ se coupent au même point O (K' est sur BC, K'^ est sur AC, K'" sur AB), pn a

Si O est intérieur à ABC, on aura OK' OK" 0K"

si O est dans la partie de l'angle BAC extérieure à BC, ox\ aura

OïT OK^ OK^