I II . ^ I II ■ ■■ I I

XOTK

Sir la ipestioB proposée come sijet le ceaposikioa uAéflakiqie

poar rdiission i Itcole Poljlechnifie ei 1857 ;

Par m. Ch. BOURGEOIS.

La question dont il s'agit était énoncée dans les terme»

suivants :

Trousser le nombre des racines réelles qu admet Vé-

qiuttion

x = Asinjf-hB

pour chaque système de valeurs des coefficients A e/ B, et effectuer la séparation de ces racimes.

Application à V équation x=^i\ii ûnx 4- iSy.

Deux solutions de cette question ont été données dans le tome XVI de ces Annales (p. 376 et 43o). La pre* mière solution laisse beaucoup à désirer au point de vue théoricpe, et Fauteur ne traite l'application numérique qu'après avoir fait subir aux coefficients donnés une profonde altération. La deuxième solution a Tinconvément de ne pas rattacher la question d'une manière suffisante aux principes fondamentaux de Talgèbrc. Il ne s'agissait pas effectivement, pour les candidats, de résoudre un problème, mais seulement d'appliquer les théorèmes connus relatifs à la variation des fonctions.

On obtient une solution fort simple de la question en suivant la marche tracée par M. J.-A. Serret dans un article qui fait partie du t. V des Annales de V Observatoire impérial, et qui est intitulé : Note sur V équation

dont dépend l'anomalie excentrique et sur les sériel qut se présentent dans la théorie du mou\^ement elliptique des corps célestes. J'exposerai ici cette solution en peii de mots, afin de présenter aux candidats le type de la ré^ pense qui leur était demandée.

Solution. Remarquons d'abord que Ton peut toujours supposer â positif-, en eiTet, si le contraire a lien, et que Ton fasse •

A = — A', B = w — B', j? = TT — jr', l'équation à résoudre deviendra

x'=A'sinx'4-B'. .

Cette équation transformée est de même forme que la proposée , et le coefficient A' est positif. Cela posé, nous ferons

(i) j" ^=: X — Asinx — B,

et en désignant par y* la dérivée de y, on aura

(2) y= ! — Acosx.

Nous distinguerons les trois cas A<^i, A = i,A>i.

I**. Si Ton a A <C 1, la dérivée j^' est constamment positive, donc/ est une fonction croissante-, par suite l'équation proposée

ne peut avoir qu'une seule racine réelle. D^ailleurs cette racine existe effectivement , puisque Ton a

y :=. — OD pour j: = — oo , ^ =: -f- 00 pour jr = -f- 00 .

a^. Si Ton a A = i , la conclusion précédente subsiste^

( '3? ) éar Téquation ( 2 ) donne

y =r 2 sin' - X :

fa dérivée j^^ peut ^'annuler, mais elle n'est jamais négative, en sorte que la fonction y est croissante, comme dans le cas de A <^ I .

3**. Si 1 on a A > i, on peut faire A== -• — t a dési-

cosa deviennent alors

gnant un arc compris entre o et -; les équations (i)et(2)

1 1 bis) r = Jî B ,

^ ' ces a

/ . . X / ces j:

(%bi$) y= IH

^ ' cos a

Soit K un entier arbitraire positif, nul ou négatif, et faisons croître x depuis aKîr — a jusqu'à 2 (K H- 1) ir — a. Dans l'intervalle de j: = 2 Kir — a à or = 2Ktr + « , la fonction y est décroissante, car la dérivée y' est alors nulle ou négative; au contraire, dans l'intervalle de X = 2K7r •+- a à x = 2 (K 4- i) tt — a , la fonction y est croissante, car la dérivée y est nulle ou positive. L'équation proposée ne peut donc avoir qu'aune seule racine entre 2K7r — «et 2Kir-ha, et une seule entre 2K7r + a et 2 (K H- 1) ir — a. H est facile de reconnaître si ces racines existent efTectivement.

Posons

B+a-tang,^^

^ ' 2Tr

(4) ^-:zi±^=n'-f,

H eln* étant des entiers positifs nuls, ou négatifs, f et /'

( .33) des fractions inférieures à Tunite et positives ou nulles, on aura

y = aic(K— fi-+-/) pour ar=aK7r— a,

^ = 2îr(K — /f'4-/') pour Jc=raKTr-|-a,

jr =:2ir(K-bi — «H-/') pour -c = 2 (K-f- i)ir — a;

donc pour que l'équation {i) ait une racine entre 2 Ktt — a et 2 Kir + a , il faut et il suffit que K soit Tun des nombres «, n + iy n-4-2,.-., n' — i . On ne peut jamais avoir /j'<»5 mais si n^z=zny il n'existe pas de racines entre 2 Kir -^ a et 2K7r -+■ a. Pareillement, pour qu'il y ait une racine entre 2K7f-f-a et 2 (K-f- i)7r — a, il faut et il suffit que K soit l'un des nombres n — i, n, n-Hi,.**? n' — 1 . 11 résulte de là que Téquation proposée a

2(/l'-./f)-hI

racines réelles dont la séparation est évidemment effectuée par ce qui précède. Cette conclusion subsiste si l'une des fractions J* ou f est nulle-, seulement dans ce cas l'équation proposée a deux racines égales.

On peut abréger le calcul des nombres n et n' lorsque A est un grand nombre^ car Ton a

et comme sin | « = - » on aura

it /i I \

en outre,

tang a = v^A*— I = A -h ( v^A'— i — A ) = A -

( i34) on peut donc écrire

n — /'= ho, 25 — ( -H —-h. . . I

•^ IV \2irA l2irA» /

2ir(A + VA»— I )