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A étant un grand nombre , les deux dernières parties de ces formules n'influeront pas sur les valeurs des parties entières netn'\ on aura donc avec une exactitude gêné- Talement suffisante
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^application. Dans l'exemple proposé on a
Les formules (5) et (6) donnent
Avec les formides (3) et (4) on aurait eu
donc M = — 474 > '»'= 5a5 , n! — n = 999 ; le nombre des racines de Téquation proposée est donc
( i35 ) RSIIAil«liBS SUR L'ARTICLE DE LA PAGE 112;
Par m. le BESGUE.
1 . La démonstration par laquelle on prouve dans Tarticle de la page 1 1 2 do ce volume , que cinq nombres consécutifs ne peuvent avoir un carré pour produit, peut aussi montrer que ce produit ne saurait être un oube.
Pour cela, il suffit de changer dans les systèmes (i) à (6) , a', b\ c', d\ e* en A», B% C% D% E». Il en résulte les six équations suivantes :
qui toutes rentrent dans Téquation
démontrée impossible (LegendrCy Théorie des Nonibivs^ t. II, p. 9). II faut rem^rrquer que^ peut être positif ou u^atif.
2. Les 22 dernières lignes de Tarticle page 112 contiennent une seconde démonstration de ce théorème . Cinq nombres consécutifs ne peuvent avoir un carré pour produit. Il eût été naturel de la supprimer comme moins simple et moins directe que la première. 11 eût fallu Surtout n'y pas laisser les fautes suivantes, qui la rendent presque inintelligible.
Page 1 14 9 ligne i5 , au lieu de ainsi , lisez : ainsi ((u'il suit.
Ihid, ligne 1 8 , ajoutez : excepté pour a = i . Ibid, ligne 24 , changez : 2* en 2**.
Page 1 1 5 , ligne a , changez : conformément en contrai* remenl.
Ibid, ligne 4 9 mettez : Tun au moins des deux nombres, au lieu de l'un des deux nombres.
Ces corrections faites, chacun rétablira facilement la démonstration.
THÉORÈHB SDR LES CODRBURllS DES LIGNES^
Par m. 0. fiOKLEN (de Sulz, Wurtemberg).
1 . Étant donnée une ligne quelconque sur une surface, p' étant le rayon de courbure de la ligne, désignons par f Tangle que son plan osculateur fait avec le plan tangent de la surface , par a Tangle que la ligne fait avec une ligne de courbure, par R et R' les rayons de courbure principaux ; on a
1 __ 1 /cos'a sin*fl\
Pour le démontrer, soit p le rayon de courbure de la section normale de la surface qui passe par la tangente de la ligne; on a, d'après les théorèmes connus d'Euler et de Meunier,
donc, etc.
2. Le rayon de courbure p' de la ligne est donné ici par quatre variables ç, a, R et R'5 supposons, par exern» pie, que dans une certaine ligne f soit une fonction donnée de p'^ Téquation
cos^a siii^û
( '37) exprimera toutes les lignes sur les surfaces où Tanglc du plan osculateur de la courbe et du plan tangent à la surface est une fonction donnée du rayon de courbure de la ligne.
Si cet angle est constant, on a
I /cns'a sin*a\
(3) =const.x(-^H-^),
et si la constante dans cette équation est égale ci Tuniié, nous avons
cette formule se rapporte aux lignes géodésiques, dont le plan osculateur est normal à la surface, c*est-à*dire où l'angle f est égal à 90 degrés.
Pour montrer l'application de cette équation , prenons le cas des lignes géodésiques sur Tellipsoïde^ ici on a en coordonnées elliptiques
En substituant ces valeurs dans Téquation (4)9 on trouve après quelques réductions
i^ PVP Ul L[p»(picos'fl-hv'sinVi)],
D'après M. Liouville, on a
ft' cos' <?•+ v' sin' a =. const. ;
D=(p* — fx»)', D'=:(p*— v*)S soni les demi-diamè-
( i38 ) très do rellipsoide, parallèles aux lignes de couiburc^ donc nous avons
= CODSt.
pour les lignes gëodésiques de T ellipsoïde.
3. Dans les surfaces où R et R^ sont de même signe , d'après l'équaiion (i), p' ne peut pas devenir égal à Tiii- Oni, et par conséquent trois points consécutifs d'une courbe sur ces surfaces ne sont jamais en ligne droite.
Mais dans les cas où R et R' sont de signes différents, -; est égal à zéro , si
tangfl=:±:y/~-
4. Dans les surfaces développables , les formules précédentes se simplifient remarquablement-, on a alors au lieu de (j )
^ ' ^ ces* a
et pour les lig'nes géodésiques
(6) p=-iL..
\ * ^ ces* a
