SI

«Si

au

/Al

Uu

(t-xx

Ih

[La suite f

irochainement, )

(TOtrt.XVllI, p.ltl);

Par m. GREMONA,

Professeur à Crémone (*).

Soient a , (3 , y , d les distances d'un point quelconque à quatre plans donnés^ il est évident que l' équation la plus générale d'une surface du second ordre circonscrite ai^ tétraèdre formé par les quatre plans

^*) Maintenant professeur au lycée à Miian.

( .5o ) scia

Cette surface est coupée par le plan ^ := o suivant la conique

/p7 H- mya H- «ap ='0.

Soient ol\ |3', 7' les distances d'un point quelconque du plan d = o aux côtés du triangle J = o(a = o, i3 = o, y = o) : triangle formé par Tinterseetion du plan d avec les plans a , j3 , y ^ on a

CL =. a! ^xtidèj p = p'sinpJ, 7 = 7'sin7J,

où ad est T angle des plans a = d = o, etc. Donc Téquation de la conique rapportée au triangle inscrit sera

a' sinaj P' sin pj 7' sin 7^

= 0 (Salmon).

Les angles du triangle sontjSdy, yJa, acî^ où ^3y (*) exprime Tangle que fait Tintersection des faces |3 = d = o avec l'intersection des faces y = J = o. On sait que la conique représentée par l'équation ci-dessus est une circonférence, si Ton a

l : m : n =sina^.sinp^7 : sinp^.sia7^a : sin7^.sinadp.

(Salmon.)

De même, si les plans a = o,/3= 0,7=0 coupent la surface suivant des circonférences, on aura

/ : pL ; y = sin ^a . sin pa7 : sin 7a . sin ^ap ! sin pa . 9in7a^, /;t : V : X = 8in<}p.sin7pa : sinap.sin^P7 : sin7p.sinap^, n :\ : fA = sin J7.sinoe7P : 6inpy.sio^7« : flîna7.sinP7^.

{*) /3o'/ est Tan^le qui, dans renonce dn la question, a été désigne par (;5^\yo). P.

(i5i ) De là ou lire immédiatement que l^ m^ n^ly ii^it sont proportionnelles aux quantités

sina^ . „ . ^.

-7— r- sm Ba7 • sin 8^7 , sm p-y '^ ' ^ '

sin B^ . ^ ^

-: — !— smvpa.smvoa, Sinya '^

sin7^ . « . *« . ' sm 078 . sm adS , smap '^ ^

. ^' sm afltf . sm «70, sm ai ^

sin 7a . ^ -, . ,, «

sinaP . . . . ^^ -: — Ç sm yaS . sm 7 Bo , 5107^ ' '^

ce qui démontre le théorème de M. Prouhet.

(TOlr t. XVni, p. 117) ;

Par m. GREMONA,

Professeur à Crémone.

Soient ^0» ^1 ,.-»«»-i5'*q^*"^^^'^sq^®^^^^q^^*'' * ""® racine primitive de l'équation binôme ^

et

en supposant a^ = a^

Multiplions entre eux les deux déterminants

<ia. . .

fll

On-

En exécutant la multiplication par lignes , les colonnes du déterminant produit deviennent divisibles respectivement par 0,, 9tv-*) 019 ei l'(>n 3