Représentons par =^5 —? =p les coordonnées du A4 .X.4 X

centre de la surface ayant pour équation

!tf , , a:* H- «„ x\ + ^33 ^l + <»«* *î j

H- 217,3 Xa JTa H- 2»fl JT, ;r4 -f- à <73, ^3 ^4 ]

on sait que les coordonnées du centre vérifient les équations

' --r- =«,,X, -h-n.aXi-l-flnXa -h «,4X4 = o, 2 (ixi

( 2 ) ' - -7^ == «a, X I -»- «ai Xa -+- «J3 X3 -+- #1,4 X4 = O , * ^ i 2 ^a

- -~ = r/j, X, 4- Û3i Xa + «33 X3 + «34 X4 = O.

2 tf.rj (*) La fin du chapitre III incessa mment.

(.h* le discriminant

«Il «la «13 «H

«Il «3» «M ''J4

«Il *»«: ««3 «44

donne identiquement

d\ d^ du d^

* /fA ^À . ^A /fA

^ ' Aî4, <r<J4a ««43 ««44

d^ dA d^ dA

da^t da^i da^x ^44

La comparaison des systèmes d'équations (a) et (3) nous fournit immédiatement 1^ coordonnées du centre

(dL dà d^ dA\

X| = -3 — » Xi = -r — 9 X3 = -T — » X4=-5 — )• rfflr4i ^^«4» ««43 ^44/

La surface , rapportée à son cetitre , aura alors pour équation

iattX]-\- «mxJ + «33 ^\ -f- a o„ X, Xj -f- 2 «13 JTi ^a -h 2 «,3 a:, x^

83. Si l'on regarde le premier membre de Téquation (1) comme une fonction des variables — » — 5 — et qu'on y

«1^4 «P4 Jl?|

remplace ces variables par —S —% —» la fonction ac-

querra, en général, une valeur maximum ou mini-^ iQum.

Ànn, âe Maihénêét., t. XIX. ( Avril 1860.) kO

Or on a, d'après le principe des fondions homogènes^

dm d9 da df

^ rfj?, dXi dxj dXi

En désignant par * la valeur de 9 lorsqu'on y faii

OÙ

rr=i, 2, 3, 4.

il viendra , eu égard aux relations ( 2 ) ,

D'un autre côté,

— -r^ =:= «41 Xi -f- «« Xj -+• tf« X3 -f- «44 X*;

ou, d'après les valeurs (4) ,

1 rf* ''^^^ ^^^« ^^a.^ ^^— A - -7=- = «»i •:; — H* «41 'j r «43 ^jT- -r ^'ii :t-- — A-

2 rfX* rf«4i ««4, rf«4j aa^^

Par suite, la fonction que nous con&idérons, c'est-à-dire -^ <p, aura pour valeur, dans ce ca»,

En appliquant les règles ordinaires du calcul des valeurs maxima et minima , on constate facilement que la

fonction -^ (f n'obtient de telles valeurs que lorsque cette

fonction, égalée à zéro, représente une surface apparte^-

liant au genre ellipsoïde; ut alors

il V a maximum^ si -; — <C ^ï il y a mtntmam , si -7 — > o .

8i, Dans tout ce qui précède, nous avons supposé implicitement - — différent de zéro-, sans quoi les équations [^) n'admettraient plus une solution finie et déterminée.

Si le centre est sur la surface, on a, d'après Téquation (6), A = o, et réciproquement-, la surface alors est un cône.

Lorsque -r-^ est nul , il faudra distinguer les deux cas

suivants :

1^. ùk est différent de zéro; les relations d'identité du chapitre P** nous montrent qu'une au moins des quantités-;— » -; — » - — est différente de zéro : le centre est i

<ni4, da^i dOi^

r infini.

« A 11 1 * . , r/À rfA ^/A

2®. A est nul; alors les quantités - — » - — , - — sont

da^x da^i da^^

aussi nulles, et il peut y avoir indétermination ou impossibilité. .

Je n^insisterai pas davantage sur cette discussion.

2**. Plans conjugues.

8S, Si Ton repi^sente par Ai , A^ , A» , A» les demi-dé- . rivées par rapport à X| , oti , Xt , X4 du premier membne

de l'équation (i) dans lesquelles on a remplacé — ? ~> —

p.ir ~» — - — » le plan ayant pour équation

( 7 ) .«:, A, -h X, A, H- JTa Aï -h X4. A* = o

est dit lé plan polaire du point ( ~» — » — j par rapport

a la surface ç = o ^ le poiut ( — ? — » — ) est appelé le pôle

de ce plan.

Trois plans sont dits conjugués lorsque le pôle d'un ([uelconque de ces trois plans se trouve sur rintersection des deux autres.

Soient les équations de trois plans

iiw,x,-4- m,X3-HOTaJr,-+- »W4X4 = o, .

0^ X, 4. «, Xa -h ITj X, -H «4 X4 = O, Pi^i -t-A',x,-+-/>3X3H-p«X4 = o.

Si — > — > — sont les coordonnées du pôle du premier de

ves plans, on devra avoir

«u «I -4- «,j xj -f- #?,3 aj -h fl.i «4 = OT, , o„ a, -h On a, -h o„ a, -h «j» a4 = w, , «il «1 -H «3J »3 -+- *»:3 «3 -I- <»>« a, = /lîj , «41 »« -H ''ij a> -4- «43 «1 -f" <»i* »« = w* ;

et les valeurs de ai, «f, a,, a^, déduites de ces quatre équations devront vérifier les deux dernières équations (8). On obtiendra ainsi deux équations de condition. On opérera de la même manière pour le second et le troisième plan. On trouvera , en défini tire, trois équations de condition seulement.

Les trois conditions pour que les trois plans (8) soient

< «49 ) conjugués sout données par les relations suivantes :

^il

«Il

«îl

«aj

«Jl