V.ABC^^ïtADXAbVttAD ^iABXDC— gCD — gAD^V

Il suffit doDC de démontrer que la quauiité

^ABXDC — ^CD*— ^Âd' 3 6 6

placée entre crochets est nulle, ce qui revient à faire voir que

CD(2AD— CD)=Âb!

Cette égalité devient manifeste si l'on mène par le point G, CF perpendiculaire sur AB. Le triangle rectangle FCB donne

ÂD = CF = BC*- BF L: BÂ — (BA — At)' == BÂ'— (B A — CD)» = 2 AB X DC — DC 'irr DC ( a AB — DC) .

Corollaire (question 484). Dans la même figure le segment sphérique CD A est équivalent au volume engendré par le triangle CBD.

Note. MM. de la Briëre et de Charodoti, élèves de Téeole des Carmes, ont résolu la question de la même manière.

Afin, de Maihémat.f t. XIX. (Mai 1860.) 1 1

SNfllil N U (CCINH S«4

P(kB M. Cuàmus KESSI.ER, Élève dm PrriaBee Klilaire.

AB = aR = diamètre d^an cercle de centre R, O un point sor le diamètre AB, KO = ^ , P = on point de la circonCéreoce, angle PAB = 5, angle POB = f . On a

. . Rsinaft

Mn40 =

V;R— flj^cos'p -i-{R-i-«f)-sin*p

Fonction elliptique. Jacovi.

i'*. Je mènePK ei j'abaisse PM perpendiculaire sur AB; je mène PB :

Triangle PKM PM =Rsin2p,

Triange POM PM = OPsin^»,

Rsin2p = OPsm3|»,

. . Rsinaâ ^ OP

( .63 ) Pour déinonii'er la proposition, il sufiit donc de prouve^ d'abord que Ton a

or le triangle PBO

0P*= PbV b5'— 2PB . BO ces PBO, PB=2Rsinp, BO = à — R, PB0=90 4^p,

ÔP = 4R»siri'p-+-(R — «)» — 4Rsin^p(R--a) =r 4Rii sin'P -f-{R -- «)'.

2rfp

-a)»cos»p +

(RH-fl)'

sin'

VR'c<

)s'rj.H-(R'-

/I')sin'^^

a^ sin'\j»

J'abaisse KR perpendiculaire surOP, il faut prouver que

rf+ \/r^— kr' PR

//p~ OP *~ OP

et comme

PR = RC0S(2B -f- ri , OP = r-r^>

il faut donc prouver que

rfi|» cos(2p-hip)sin4> ^ 2Rco8(2p4->H

rfp"^ sin2p '~^(R— û)»cos'p-h(R«-+-fl/sin»p

En effet la première équation

V/(R — ^)' cos'fi -H (R -h ny sin'B = ïiîîi^,

( i64 ) éUDt dérivée, en rr^ardanl 4 comme fonction de ^, on a

2 R cos 2 ^sin : — R sin 2 S cosr{» ^

et comme

— R«D(9ft + 4i)$in2ysini>-|-cos2^sin4>V.R--<irco$'pH-(RH-tf)'«D'P R sin 2 p COS+ v(R — û)'cos» p -t- (R h- n/sin'p

— sin*{> sin (2 p -h 4^) -h cos 2 p ^

"""^ OPcos^ '^ d%'

V(R — «)* cos'P -h (R-H a/ sin'p

X 1^^ — laiig+sin(2p + ^)L

V(R — û)' ce»' p -h (R -H aY sin» p

I ro»2p — uogI»(sin2pcos<» 4- cos 2 p sin +) Iv I cosy J

v'(R— «j'cos'P-+-(R -f-fl)*sin'p

/ . ^ . . COS2p . , , COS2p\ 2RcOS(2p + ^>) =^

V(R — /i)'co»'P H- (R -h#î)'sm*p ^^'

( .65 ) Note du Rédacieur, Daus renoncé du problème lo point O est entre A et B.

NOTE Sir la M 4es petites escillilieirln peilale sivple lais ai vilien résistant \

Par m. h. RESAL,

Docteur i» Sciences, Officier de riostruction publique.

La recherche de la loi des petites oscillations du pendule, dans un milieu dont la résistance est proportionnelle au carré de la \itesse, est une question qui fait partie du programme de la licence. La solution que Pois* son en donne dans son Traité de Mécanique est assesç compliquée et comporte deux méthodes. Tune pour le calcul de la décroissance des amplitudes, l'autre pour la détermination de la durée des oscillations.

Dans mes leçons à la Faculté des Sciences de Besançon de i855 à 1859, j'ai donné la solution suivante qui me parait plus simple que celle de Poisson, et dans laquelle pn seul et même calcul conduit aux divers éléments du mouvement.

Nous prendrons pour origine du temps Tinstant où le pendule vient de terminer Tune de ses oscillations et nous désignerons par a^ la demi- amplitude correspond dan te.

Soient :

g l'accélération de la gravité ;

/ la longueur du pendule ]

m la masse pesante qui le termine ;

a l'angle qu'il forme au bout du temps t avec la verticale : cet angle sera considéré comme positif ou négatif

selon cpe le pendule se troaTera on non du même côté de la verticale de suspension qu*à Tinstant initial ;

V = qp -— la vitesse correspondante de m.

La résistance éprouvée par m dans le milieu pourra

V* être représentée par m^-^ 9 K étant une conslanle li~

néaire; et l'on aura d'après le principe des forces vives I V»

Celte équation, linéaire en %*, permettra de déterminer V en fonciion de a, et de ramener, a Faidc de la relation

V = =p — 9 U rechercbe du lemps à une quadratures

quelle que soit d'ailleurs ta grandeur des amplitudes et la nature du milieu^ mais tes formules auxquelles on- ar« rive ainsi sont trop compliquées pour que Ton puisse bien se rendre compte de l'influence de la résistance du milieu sur le mouvement du pendule : aussi nous bornerons-nous à considérer le cas des petites oscillations, le seul qui sous le rapport de Tobservation présente de rînté»èt.

Il résulte des faits tirés de ^observation que le coeffi-* cicnt de la résistance de l'air est très-petit, et que pour des vitesses aussi faibles que celles du pendiiJe, on peut sans inconvénient en négliger le cvré; ce qui revient, dans révaluation de cette résistance, à- remplacer V* par sa valeur dans l'hypothèse du vide ou par g (al — a') , en négligeant la quatrième puissance de ûf© et a. On trouve ainsi pour le travail total absorbé par la résistance de l'air

le principe des forces rives donne par suite

iV' = i^/(a;-«')-ig'^,(«,-.a)(2a,-H«).

d'où

La demi-ainplitade ascendante qui suit la demi-oscillalion descendante correspondant à V = o est une racine n^ative de Téquation V = o, qui, prise en valeur absolue, diS%re de a© d'une quantité de l'ordre de — • Pour

l'obtenir il suflSt donc de poser

(2) {«. + «)[. -||;(«.-a)]=|ga,(«.-«)..

Si l'on continue à négliger le carré de ^9 on pourra

remplacer dans le second membre de cette équation, a

par — «0» supprimer le terme en ~ du coefficient* de

ffo + a; et Ton obtient, en désignant par «i la demi-am* plitude ascendante, ou la racine cherchée prise en valeur absolue,

on a de même pour les demi-amplitudes suivantes, a^ ,

(168) de sorte que les demUamplitudes décroisseni sensiblement en progression géométriqae.

Le produit des racines de Téquation (3) étant

3 r • en le divisant par — »,, on oblienl ponr l'antre racine

el V se met par suite sous la forme

d'où

= arc sin = — arc sin — ^ >

( ^69 ) on peut négliger l^ — ^] devant ao»!, et de plus on a

2 gi

avec la même approximation on peut donc prendre

lioL

D'autre part

/*« ada, l r'^4— a»-H(ao—tti)a-4'a.a<i]

«/«. V^(ao— «){« + «•) ^Ja, V^— a»-4-(a«— a,)a-f-a,ao

+ -^a.-a,jj y^(a,a)(a-ha,)'

gl mais comme cette expression se trouve multipliée par ^,9

il convient de négliger l'intégrale du second membre et de poser

I ^ ^ == = — via* — «ij (* -H «.)•

•/«, va. — «)(«-»- a.)

Il vient donc pour Texpression du temps

(|.arc.i„[^(.-4-|^,a.)-|^^a.]^

En y supposant a = o, on a pour la durée de la première

( '70 ) oscillation descendante

=v1(^Jè-);

Pour avoir la durée de Toscillatiou complète, on supposej^a a = — «o dans la formule (3), et Ton trouve, en

négligeant le carré de |-, i que cette durée est la înème que dans le vide ou tt i/--

Il suit de là que la résistance de Tair augmente la durée de chaque demi-oscillation descendante, mais diminua de la même quantité la demi-oscillation ascendante suivante. De sorte que le nombre des oscillations exécutées dans un temps donné est, en raison du mode d'approximation adopté, très-sensiblement le même que dans le vide (♦).

SOLUTION DE LA QIESTION 4^2 (PAIPIN)

(TOlr t. XVll.p. IM);

Par m. G.-F. &AEHR,

Professeur à Groning^ue.

Soit

<r, — fl, = fls — fl, =. .. = «„ — <?«{= 5,

tf„ — rt, = (« — 1 ) ây

tf I -h ^a H- . . • H- ^»-i =i ^ji»

(*) M. Somof a Tait un travail très-instructif sur les très-petiteB oscilla* tions d*un système de points matériels ( Mémoires de l'Académie de Saint- Pèiershourg, t. I, n« 14 ; iS5g). Il y démontre, contre Lagrangtet Laplace, Texistence de racines égales, dans Téquation fondamentale de cette théorie , existence seulement énoncée par Cauchy. T«.

( »ri )

ei oomidéroRS le déterminant

Oi fil ûi . a«, a^ flr, /I3 ^4 a^ . a„ a, a,

«Jir-i ''il <»i . ^n-« ««-3 ûfl-ï <7, /I| tfj . /?«-3 ««-2 ««-1

On aara, en écrivant les colonnes dans un ordre inverse,

«3 Ot Oi

Ok «3 ^1

wj a^ Oi

/ïfl a 0»s ^,i

fl, a, ««

4- si /i est de la forme ^p ou 4/^ *+- ' » — si /i est de la forme 4/^ -+- 2 ou 4/^ + 3 ,

parce que dans le premier cas on a échangé un nombre pair (2p) de fois deux colonnes entre elles, tandis que dans le deuxième cas cela a eu lieu un nombre impair (2p-^i) de foiS) la colonne du milieu, si n est impair, restant à sa place.

Si dans ce dernier déterminant on 6te les éléments de la deuxième colonne de ceux de la première, les éléments de la troisième de ceux de la deuxième, et ainsi de suite, il viendra (*)

Dr=-

*) Tome Xlll. page 7^.

( K^) fms ajcrnianl aux élénunus de la pccaûcre ligne la somme des âémaus pris en colooiics des lignes suivantes correspondantes^ oo a .

OU bien (*)

o ^. J (/F l)^fl*

ou ajoutant encore une fois aux éléments de la première ligne tous ceux pris en colonnes des lignes suivantes, et ensuite, les éléments de la première ligne à ceux de chacune des lignes suivantes en particulier, on obtient sac*

{') Il i»'y a plus que il — i caloiiiics.

ressivement

ce qui se rédait k

Faisant

on a

Soit la progression géométrique

011 aura

ar"

. ar*-' ar*-^ ar*""

ar^

ar'

. ar^"^ ar'-^ a

ar'

ar^.

. r?/-"-' a ar

af"-

or"-* ar*-' ar*-'

ai^

ar .

ar*"* ar«-' ar*-'

H- si /i est de la forme ^p ou 4/^ + i » — si /i est de la forme 4/^ + 2 ou 4/^ + ^'

Car en intervertissant Tordre des colonnes, et faisant n fois sortir en dehors du déterminant le facteur a, qui est commun aux éléments de toutes les colonnes, on a

ou, multipliant les éléments de la première ligne par r et étant des produits les éléments correspondants de la deuxiëmei puis multipliant de même les éléments de la deuxième par r et. étant des produits les éléments de la troisième, et ainsi de suite,

{'75) ■ÉIOIRE SUR LES POLAfflES MCLINtES

(voir t. XVIII, p. SU);

Pae m. DEWULF.

X.IV. Reprenons les équations du § X qui nous don* nent les n^ points fixes du faisceau <f des polaires inclinées d'un point a|3 par rapport à un faisceau F'*, et dans ces équations remplaçons P par A« + B, nous aurons

Ces équations peuvent se mettre sous la forme r /r/F ,d?\ dY ,rfFl

En éliminant a entre ces deux équations, nous aurons le lieu décrit par les n* points fixes du f " quand le point (tx|3) décrit la droite

^ = Aj + B.

Cette élimination nous conduit à l'équation (5). Dpnc

( «76 ) Quand un point P décrit une droite L, les n* points fixes du faisceau 9" de ses polaires inclinées par rapport à un faisceau F" décrivent le même lieu que les n (n — i) points polaires de L par rapport à Vune des confies du faisceau F" quand cette courbe tourne autour des n* points fixes du faisceau.

Remarque, Ces théorèmes renferment comme cas particuliers les l>eaux théorèmes que Bobillier a démontrés sur les polaires ordinaires au tome XVIU des Annales de Gergonne, p. 89 à 98; 1827.

XV. Je reprends Téquation générale de la polaire inclinée d'un point (aj3) par rapport à une courbe C" représentée par l'équation

Soit

cette équation

Supposons que le point (a, j3) décrive la courbe

Nous aurons la relation

(4) /KP) = o.

Cherchons Tenveloppe des premières polaires inclinées du point (a 9 P) par rapport à C„ quand ce point décrit la courbe (3).

Pour cela, difierentions les équations (i) et (4) par rapport à a et à P , nous trouverons ainsi

" a a, dp da.

( »77 ) IdY ,dV\ (dV /dF\ d&

d'où, par réiimination de a et |3,

Eliminant maintenant a et ^ entre les équations (i)) (4) et (5), nous aurons l'équation de l'enveloppe cherchée.

Soient x' et y un point de la courbe (S), la tangente à cette courbe en ce point a pour équation

Cherchons le lieu décrit par les n{n-^\) points polaires inclinés de cette droite par rapport à la courbe C", quand le point x' y décrit la courbe (3 )«

Reprenons pour cela les équations (3) et (4) du paragraphe XI :

/d¥ ^dF\ d¥ ,dlP

Ces équations donnent les n {h — i) points polaires inclinés d'une droite

j = Ai?-hB.

Faisons

d/ dy

iitii. d€ Mathèm., t. XIX ( Mfei i86o.} 1 %

( «7» ) Il viendra

,^, eiF/dW ,dF\ d/fdF ,dF\

(^> dy[dP^'d^)==i\di-''^y

Il safBt, pour avoir le lieu cherche, d'éliminer x'j' entre les équations (6) , (7) et Téquation (8)

Or CCS équations ne diffèrent pas des équations (5), (i),

De la ce théorème :

L^env^eloppe des premières polaires inclinées des points dune courbe par rapport à une certaine directrice est la même que le lieu des points polaires inclinés des tangentes à cette courbe par rapport â la même di^ rectrice.

Ce théorème donne comme cas particulier le célèbre théorème de Poncelel, polaires réciproques.

XVI. Supposons que la courbe C" ait un point multiple de Tordre p. Les coordonnées (x, y ) de ce point satisfont aux ^-^ ^ équatic

tions

F(jr,r) = o, dF dF

d.T^ ' dxdx dy

dP-'F dP-'F dP-'F dP-'F

= »» 3irT3r, = o,.,., --r:-.=ov

dxP-^" ' dai^^dy^ ' i/x/^^j»~"'"" 7S^«

( »79 ) et les p valeurs de — sont données par i équation

/ ^^F de Y (dr\ p(p^t) d^Y

dxf

dPF fdr\ p(p--i) d^Y (dyy ^^ dxP-'dr\dx)'^ 1.2 dxl^'dj'^\djt) "^'^

La première polaire inclinée de l'origine par rapport à C* est identiquement satisfaite par les coordonnées x eijr :

dF dV

U est facile de voir que les dérivées successives de i^ jusqu'à celle de l'ordre (;; — i) sont nulles pour les coordonnées or et / du point multiple. Par conséquent : Tout point multiple de l'ordre f de C" est multiple de Vordre p — 1 sur une première polaire incUnée queh conque d^un point quelconque du plan de C'*.

Les coefficients angulaires des p — i tangentes sont donné» par l'équation

dPF dPF

y dPF , , , dPF ' , r\ /dr\f^*

La deuxième polaire inclinée d'un point par rapport à une courbc) jouissant, par rapporta la première, des pro-

( «70 ) oscillation descendante

'Pour avoir la durée de roscillaliou complète, on supposej^a a = — «e dans la formule (3), et l'on trouve, en

négligeant le carré de |-, t que celte durée est la inème que dans le vide ou Tt i /-•

n suit de là que la résistance de Tair augmente la durée de chaque demi-oscillation descendante, mais diminua de la même quantité la demi-oscillation ascendante suivante. De sorte que le nombre des oscillations exécutées dans un temps donné est, en raison du mode d^approximation adopté, très-sensiblement le même que dans le vide (♦).

SOLUTION DE LA QUESTION Ali (PAIN\IN)

(voir t. XVII, p. IM) ;

Par m. G.-F. feAEBR,

Professeur à Groningue.

Soit

fl, — fl, = a, — fl, = . . . r= «„ — a^-i = S ff

fli -h <ïa •+■ . . -H- 0«i =î J«,

(*) M. Somofa fait un travail très-instructif sur les très-petites oscilla-» lions d^un système de points matériels ( Mémoires de l'Académie de Saint- P'etershourg, t. I, n<> 14; i85g). Il y démontre, contre Lagrangtet Laplace, Texistence de racines égales, dans l'équation fondamentale de cette théorie; existence seulement énoncée par Cauchy. Ta.

( 171 ) et considérons le déterminant

a^-i Ér«__3 a«a

On aura, en écrivant les colonnes dans un ordre inverse,

/î„a ^«-3 ^«-4 • «I ^i. ^n- ^«^1 /ï,i /?a s . at Oi (tn

H- si « est de la forme ^p ou 4/^ **- ' > — si 71 est de la forme 4/^ -+- 2 ou 4/^ H" 3 1

parce que dans le premier cas on a échangé un nombre pair (2p) de fois deux colonnes entre elles, tandis que dans le deuxième cas cela a eu lieu un nombre impair [2p-^i) de fois, la colonne du milieu, si n est impair, restant à sa place.

Si dans ce dernier déterminant on ôte les éléments de la deuxième colonne de ceux de la première, les éléments de la troisième de ceux de la deuxième, et ainsi de suile, il viendra (*)

*) Tome Xlll, page 7!^.

( '7^ ) puis ajoutant aux éléments de la première ligne la somme des éléments pris en colonnes des lignes suivantes correspondantes, on a.

ou bien (*)

0 S , 9 — [n — i)^ fl«

{") Il n'y a plus que n — i colotiiieii.

cessivement

re qui se réduit à

o o o . — no o o o . o — n

— Il o o o

= ±: (— 1 )• i« ^-' (— nf-'' =± ^' «•-' Sn Faisant

on a

Soit la progression géométrique

on aura

. ar*-^ ar*-^

ar*-'

ar*

ar'

. ar^"^ ar*-'

ar"

ai^

ar*.

. af^-' a

ar^-

ar*-^ ar^*

ar^^

ar^

ar»-* nr*-^

ar*--"

+ si /i est de la forme ^p ou 4/^ "*" ' » — si /i est de la forme 4/^ + 2 ou 4/^ + 3.

Car en intervertissant Tordre des colonnes, et faisant n fois sortir en dehors da déterminant le facteur a, qui est eomodun aux éléments de toutes les colonnes, on a

OU, multipliant les éléments de la première ligne par r et ôtaut des produits les éléments correspondants de la deuxième, puis multipliant de même les éléments de la deuxième par r et.ôtant des produits les éléments de la troisième, et ainsi de suite,

==±-- (r»— i)«-».r— • =±fl«(/-'— i)"-'.

(«75) ■filOIRE SUR LES POLAIRES nCLINEBS

(voir t. XVIII, p. Stt);

Par m. DEWULF.

XIV. Reprenons les équations du § X qui nous donnent les v} points fixes du faisceau f" des polaires inclinées d'un point aj3 par rapport à un faisceau F", et dans ces équations remplaçons |3 par Acx + B, nous aurons

(•• + »-^)(|-*|)-!"-')(|-'f)=»- Ces équations peuvent se mettre sous la forme r /^/F ,dY\ dF ^fiFl

En éliminant a entre ces deux équations, nous aurons le lieu décrit par les n' points fixes du f * quand le point (a|3) décrit la droite

jr = AxH-B.

Cette élimination nous conduit à l'équation (5). Dpnc

( ^9^ ) on aura entre les points correspondants a , b, c, d ^e la figure homographiqiie la relation

^l ah cd \

les lettres grecques désignant les distances des points a , b, c, etc., a une droite fixe I.

Car, d'après la formule (i), les valeurs de R et de •in (c, i) restent les mêmes dans TexpressioD de chacun des segments a' b\ c'<2'^etc. Au moyen des différentes formules indiquées (9), on pourra mettre la relation précédente sous d'autres formes.

i*'. Des points a\ b\ c',- • ., e',/' se succédant sur une droite d'une manière quelconque

dans la figure homographique, on aura

ab bc ef af

a^. Deux cercles de centre o' et o\ se touchant en un

point a\ on a

La figure homographique donne ce théorème :

Lorsque deux coniques se touchent en un point a , elles se coupent en deux autres points fetpi, réels ou ima^ ginaires; si Von prend les pôles o et o^ de la droite ppt dans les deux coniques, la diX}ite ooi passera par le point a, et si Von appelle tù^ tùiy a les distances des points o, Ou Si à la droite ppi , on aura

Ce théorème est susceptible de plusieurs corollaires.

IL Relation entre des segments situés sur des droites parallèles,

La formule (3), dans laquelle R restera constant, montre que :

Si l 'on a une relation homogène

entre des segments a'b', c'd', . . . situés sur des droites parallèles, on aura dans la figure homographique la relation

dans laquelle a^^^y^â sont les distances des points cor^ respondants a, b, c, d à une droite fixe I.

i^ Dans un parallélogramme a^V dâ les côtés opposés tels que a'b'eic'd^ sont égaux. De là : Étant donné un quadrilatère abcd , si Von désigne par a^^^y^d les distances de ses sommets à la diagonale extérieure, on a

7?. Si l'on coupe deux droites parallèles A', B' par de» droites issues d'tin point arbitraire, en des points a\ b', c'y ££',.••? ^'i > ^'i ' ^'i r rf', , . . • , on a la relation

a'b' b'c' dd a, b\ ~ TJ. ~ c\ d

ïiwcï^ la figure homographique nous arons deux droites A et B se coupant sur une droite I, et un faisceau de droites rencontrant les premières aux points a & c . . . ^i i, Ci , etc. , et si Ton appelle oc , |3 , y, . . . , ai , j3i , yi> . . » les distance»

( .«92 ) de ces points à la droite I , on^

«1 pi Pi 7»

3**. Considérons deux polygones ayant leurs côtés a'b\ a\b\^ V c\ b\c\y etc. , respectivement parallèles; on a

T-TT = Tf — T = constante.

La figure homographique donne deux polygones dont les côtés vont se couper deux à deux sur une droite I \ donc Étant donnés deux poljgones homologi'gues , si l'on appelle a, j3, y,..., «i, (3|, y^ les distances des sommets correspondants à l'axe d homologie.

. = constante,

«1 Pi «i 7i

in. Relation entre des points situés sur une conique.

Si Ton considère une corde a^b^ d'un cercle, sa longueur est donnée généralement [formule (2)] par la rû* lation

«'*'= J^jdEi "I^ (t. XVni, p. 383);

ab sera la corde d^une conique correspondant -au cercle donné, a , |3 les distances des points a et fr à la droite ppx qui correspond à Finfini de la première figure , x et iti sont la distance des points p et pi de la conique au segment ab.

Soient P et A les diamètres de la conique parallèles

( «93 ) aux droits ppi ei ab , d'après une propriété biea connue (que nous démontrerons plus loin)

Tr.TT. P'

la formule ci- dessus devient

2w V — I P» ab

PP^ Ay^ap'

nous déduirons de le que : Si Von a entre des points situés sur un cercle la relation homogène

on aura entre les points de la conique correspondante la relation

^(ab cd \

\A\/a.p Bv^7.^ /

dans laquelle A , B, . . . sont les diamètres de la conique parallèles aux cordes ab, cd, . . . , a , ^, 7, cJ, . . . /ej distances de leurs extrémités à une droite fixe I.

Si l'on suppose que cette droite fixe est à V infini, on a simplement

pour relation correspondante.

1°. Lorsque deux cercles sont concentriques, la corde a'ft' de l'un, tangente à l'autre, est de longueur constante. De là : Lorsque deux coniques ont un double contact suii^ant une droite I, si Von mène à Vune une tangente et que Von appelle ab la portion de cette tan-gente comprise dans Vautre y et A le diamètre de celle-

Ann. de Mathém., t. XIX. (Mai 1860.) |3

( «94 ) ci parallèle à la tangente •

ab — -.i^ =. constante,

a et ^ étant les distances des points sl et h à la droite 1. Si la seconde conique est un cercle dont A est le diamètre, on a

. = constante.

Si les deux coniques sont homo thé tiques,

— =: constante.

1^. Lorsqu'un quadrilatère a' b' c' d' est inscrit dans un cercle

Comme correspondant à ce théorème, on trouve celui-ci : Un quadrilatère abcd étant inscrit dans une conique , si Von appelle A, B, C, D, E, F /ej diamètres de la conique parallèles aux côtés, pris successix^enient y et aux diagonales y on a la relation

ab.cd bc.da ac.bd

3®, Si Ton joint un point arbitraire m' d'un cercle aux extrémités a' et V d'un diamètre

ma 4- mb = ab .

D'où ce théorème : Étant donnés une droite I et son pôle o , relatipetnent à une conique, menons par ce point une droite arbitraire rencontrant la conique aux points a ef b; m étant un point de la conique, A, B, C 5e^

( '95 ) diamètres parallèles aux droites ab, ina, mb, et enfin aj^^ (jL les distances des points a , b , m à /a droite I, on a la relation

a m bm ab

Si la droite I est à Tinfini ^ ab est un diamètre de la conique, et Ton a

am bm ab

[Lit suite prochainement.)

OUESTION.

522. Toutes les surfaces polaires d'un point d'une surface algébrique, prises par rapport à cette surface, ont en ce point même indicatrice ; les rayons de cdurbure des sections faites par un plan issu de ce point dans la surface et ses diverses polaires, sont en ce point inversement proportionnels aux degrés des surfaces diminués d'une unité. ^ (Th. Moutard.)

SOLUTION DE LA «IIBSTION 449 (M. STRBBOR)

(TOtrt.XVII,p. Mt);

Par m. DEWULF et M. MARTELLI (dr Mu^n).

Soient

Téquation aux carrés des différences des*raciiies de cette équation.

Posons

ti^

et substituons dans Téquation (a), il vient P8*î-hP,rî-h... = o,

V L — li Z(«~B)>"= P.

D'après la Note sur Féquation aux carrés des difTérences, insérée t. XVII, p. 268,

Donc y si on a aussi

ae»— 46i/H-3c' = o,

f* = Of

et par suite

D'ailleurs

-hN(pi!r4->) =

M, N étant des constantes.

Donc, si

on a

et par suite

S# S| Sî

Sj S3 84

Hm 4- > = 0,

{a^py

PROPRIÉTÉS DES CONIQUES SPHÉRIQIIES BOIOFOGAIES^

Pàb m. VAINNSOIS, Professeur au lycée de Versailles.

Lemme. Éunl donnés deux grands cercles AL, A M et Fie. I.

deux points B, C d'où l'on a abaissé les quatre arcs perpendiculaires BD, BM , CL, CM , si l'on accorde que leurs sinus soient proportionnels, les trois points A, B, C seront sur une circonférence de grand cercle 5 car supposons que AB et AC soient deux arcsdisiincts Tun de l'autre,

on aura

d'où

>în BAD sin CAL sin BAx\ "" sinCAM'

sin BAD -h sin BAN sin CAL 4- sin CAM siu BAD — sin BAJN "" sin CAL — sin CAM '

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