CAL — CAM
on conclura de là facilement que BAD = CAL. Donc les trois points A , B, C sont sur un même grand cercle.
Théorème. Si deux coniques sphériques ont un foyer commun et quelles se coupent en deux points j ces deux points seront sur un arc de grand cercle passant par l'intersection des directrices correspondantes au foyer commun; et si elles se coupent en quatre points, on pourra f par deux d'entre eux, mener un arc de grand cercle passant par r intersection des directrices ; il en sera de même des deux autres.
Soient O le foyer commun et A, B deux points d'inier-
Fin. Q.
cectiou, AC, AD, etc. , deux perpendiculaires abaissées
im) . '
sur les directrices ; on a
sinAG sinAO
sin bp siQ 6 0 et
sin A<^ sin AO
sin ^ K sin b 0 d'où
sin A</ sinAC^
sin bK sïn bp '
donc les trois points 6, Â , L sont sur un grand cercle.
La même proposition peut aussi se démontrer par un calcul très- simple. En prenant le foyer commun pour origine, les deux coniques auront pour équations
/'-f- a:* ss [m'y -*- n'x H- y»')».
Les coordonnées réelles ou imaginaires communes à ces équations vérifieront l'équation qui résulte de la soustraction membre à membre , laquelle donne deux circonférences de grands cercles passant ab point où se coupent les deux directrices, ce qui démontre le théorème même pour le cas où il ii'y a pas de points réels communs aux deux courbes.
Théorème. Si deux coniques ont un Joyer commurt, que par ce point on mène un arc coupant les courbes en deux points A, B, quaux points A et h on mène deux tangentes, le lieu de leur point de rencontre sera une circonférence de grand cercle passant par la rencontre de directrices.
Soient O le foyer commun , OCD une perpendiculaire sur 06 prolongée jusqu'à la rencontre des directrices aux points C et D, les arc6 Cb et DA seront les tangentes aux
points b et A\ abaissons les arcs il et is perpendiculaires
Fie. 3.
sur les directrices, et iK perpendiculaire sur OC, enCn bq et ag perpendiculaires sur les directrices. Nous aurons
sin il siD bq
= . ,„ = a , rapport constant ,
smrK sin^»K * ^*
et
sin/K sinAO 1 ^ ^ ^
= -; — -— = -T> rapport constant ;
5in#S sin Ag a ' '^'^
de là en multipliant
sin // a sin r S <xf •
Donc le lieu du point / est une circonférence de grand cercle passant au point x. iutersection des bissectrices, et aussi par les deux points communs aux deux courbes.
PROBLÈME. Tromper l équation générale des courbes du second degré passant par quatre points ADCD et le lieu de leurs centres,
La première partie se .traite cx)mme pour les courbes planes, et l'on trouve, en prenant pour axe des x l'arc qui passe par deux des points A, B et CD pour axe
( aoi ) des jr,
B est ime indéterminée; aa', 66' les coordonnées des points. Pour avoir le Heu des centres, on prendra les deux équations qui donnent ce point , et l'on éliminera Bi. On trouve ainsi une équation du troisième degré. Si l'on suppose
l'équation (i) deviendra
c'est l'équation des courbes du second degré, tangentes aux deux axes en deux points donnés. Le premier membre de l'équation du centre est alors divisible par le facteur
^ H I , qui , égalé à zéro , représente la circonférence passant par les deux points de contact. Le lieu des centres est donc une conique sphérique dont l'équation est
Nous allons construire cette courbe en supposant les axes Ox, Oj- rectangulaires.
Fie. 4.
( aoa ) Soit OA = a', arc dont la tangente égale a, 0C = 6'; la courbe passe à Torigine , ei pour trouver la tangente en ce point, il suffit de joindre Torigine au point H ayant . pour coordonnées a', 6'. Si le rayon de la sphère devenait infini , le Heu des centres se réduirait à celte tangente, qui serait alors une ligne droite.
Si l'on fait r = o, on trouve j: = ; si donc ou
prend un quadrant à partir de A, on a un point D de la courbe. Si Ton calcule pour ce point le coefficient de la
tangente, on trouve 9 en sorte que si Ton joint O au
point K symétrique de H, Tare OK ira rencontrer la tangente en D, qui a le même coefficient que OK à 90 degrés
de l'origine. Soit donc OKL = -> l'arc DL sera la tangente en D. On trouve de même la rencontre de la courbe avec Taxe desj", elle se construit en prenant 0C'= CO,
et la tangente en C s'obtient en joignant L au point C. Ayant trois points et leurs tangentes, la courbe est déterminée, et l'on peut, au moyen du théorème de l'hexagone de Pascal , obtenir autant de points qu'on voudra géométriquement. On peut encore remarquer que le poiut
L étant à - de l'origine, si parce point on mène des arcs
sécants (m, ;i ), le centre des moyennes distances des points m , n et de leurs analogues sous une circonférence de grand cercle joignant les points de contact C et D; en sorte que si nous appelons I la rencontre CD avec m/i, le point I satisfera à Toqua ti on
«angr'+tang^"
.( =»o3 ) j', j\y" étant les ordonnées des trois points I , /« , « • cl de même à Téquation
langx = — « — -^- 2
On peut conclure du problème précédent, par la considération des ellipses supplémentaires, que le lieu des centres des ellipses tangentes à quatre grands cercles donnés est aussi une courbe du troisième degré.
Problème. Tromper Véqiiation d*une conique sphé^ rique passant par quatre points, connaissant en un de ces points la direction de la tangente.
Choisissant les aices comme dans le problème précé-
Fie. 5,
dent, nous avons l'équation d'une courbe passant par les quatre points donnés , savoir
en appelant, pour plus de simplicité, a la cotangente du
segment OA, a', etc. Si nous désignons par — le coeffi-
nt
cient angulaire de la tangente au point A , qous aurons
tirant R de cette dernière relation , nous trouvons pour
{ ao4 ).
équation de la courbe
(6r-l)(6'r-!)-h{a.r-l)(a'x-l) -f-[6 -h 6'-h (a — a')/iî]ax/ = I.
Remarque, On peut trouver l'équation générale des coniques passant par quatre points A, B, C, D, sans donner aux axes une position particulière. Pour cela soit
tx -f-a^ — 1= o
l'équation de la circonférence passant par deux des points A , B, et
6'7-H a'x — 1 = 0, celle qui passe par les deux autres ; soit aussi
7 j -h^ X — I = 0, la circonférence menée par A et C , et enfin
Téqualion de la circonférence menée par les points B et D; si nous posons Téquation
+ X{ax4-7r — i)(^x + 7'r— 0 = 0
(analyse de MM. Briot et Bouquet), il est évident que les coordonnées d'un quelconque des quatre points donn& vérifieront cette équation ; 1 étant indéterminé : c'est donc Téquation générale des courbes du second degré passant par les quatre points \ X se détermine comme dans les pro* blêmes précédents , si Ton donne un cinquième point, ou le coefficient angulaire de la tangente en un des quatre points donnés.
Problème. Trouv^er Véquation générale des coniques sphériques tangentes à quatre circonférences de grand cercle données.
( ao5 ) Nous prendrons pour aies les diagonales du quadrila-
tère formé par les quatre tangentes. Soit
tangOBt=ay tang6 0A=:a', tttngOC = ê, ungOD = 6',
l'angle COB = 0.
Représentons par
r = Aa:
Téquation de Tare MN passant par deux points de contact opposés ^ Tautre arc PH aura pour équation
nous V avons démontré précédemment, eu faisant voir que les quatre arcs se coupant au point O forment un faisceau harmonique.
Cela posé, il sera facile d'avoir les coordonnées du point N 9 intersection de deux cercles dont on a les équations , on trouve
