II 1 I
qu'on identifle cette équation avec celle du plan polaire
( ^9» ) du point Ml, savoir :
et qu'on opère de la même manière pour les quatre sommets Ml, M«, Mj, M4, on obtient les douze relations suivantes
^r '(Tr rf«r
où
Remarquons tout de suite que D est égal à six fois le volume du tétraèdre Mt Mt Ms M4 ; Di à six fois le volume ^ du tétraèdre OM, M, M4 ; Dt à six fois le volume de OMs M4M1, etc. \ O est le centre de Tellipsoïde.
3. Les formules bien connues du développement d'un déterminant au moyen de ses déterminante dérivés^ appliquées au déterminant D, en ayant égard aux relations (3), nous conduisent aux égalités suivantes :
(4) D. -hD. 4-D3-f-D4 = D;
{ D,xjH-D,x;-f-D3.r;4-D»xî -f a»D = o,
( D, «^H-D.zî-f-DjzJ-f-Diz; -+-c»D = o;
1 D. x,Xx ■+- DjXa/, -f- D, Jfsra -+- D4 «4 ri = o ,
(6) < D,jc, «, -h DjJTaZ,-»- DsXj*,-!- D4-r4*< = o,
Des ombilics et des sections circulaires.
On sait que le paraboloïde elliptique a deux ombilics situés dans le plan 2OX de la parabole de moindre paramètre en deux points symétriques où la tangente à la courbe fait avec Taxe des x un angle défini par la relation
(6) langô = S/'-^'
Soit F un de ces points, FTla tangente. FN la normale,
y FP la coordonnée z. La parabole SF a pour équation
on aura «
„„^ NP tt — «r tangO = tangFTN = tangNFP = — = — —j
et à cause de la valeur précédente de tangd, on aura pour l'ombilic
(7) FP^\/e{u^e).
Il sera encore utile, par la suite, de remarquer que la même figure donne pour la normale
FP
et pour l'absciase de l'ombilic
(9) -.r = OP=:'lr:f.
Ain^i les coordonnées de l'ombilic seront
Si Ton remonte aux valeurs de y et de z ( 2 ) , ou en conclura, en les identifiant aux valeurs précédentes, que pour les ombilics on a
Enfin nous aurons à considérer une sphère ayant pour centre le pied m de la normale à Tombilic et pour ra}oii cette normale elle-même. On peut encore la définir en disant qu'elle est tangente au paraboloïde en ses deux ombilics. Nous conviendrons de l'appeler sphère focale , ce qui sera justifié par ses propriétés.
Nous rappellerons encore que les sections circulaires du paraboloïde sont parallèles au plan tangent de la surface à l'ombilic.
De la courbure du paraboloïde elliptique.
Nous commencerons l'étude du paraboloïde par les propriétés relatives à sa courbure.
Soient
f Y-jr-f-7(Z-z) = o, les équations d'une normale, et
, dx dz ,,, .dp
les équations de la normale infinimeni voisine quand on se déplace suivant la li|;ne de courbure w = constante. On trouvera sans difficulté
fif 2
dz V « — ^ V* — ^
dv 2 v^^-.^i* -h <•
dp v^.Vtt —
^^ y[7T~e.^7^:rr,: dv- ^^^^^^±^^^——
La première des équations (ii) devient alors
on en déduira Z — z ; on aura de même X — x, Y — i , ce qui donne le système
où X, j^, z désignent les coordonnées d'un point M de la surface et X, Y, Z celles du centre de courbure correspondant. Par Télimination de x, y^ z, on trouvera
u -f- 3p — fv-h e
1 «Vi^.y/ci^
Pour le rayon de courbure lui-même on aura
R, = (Z - z) )/i^p^^q\ (*) Voir Vcf]unt\on (i).
( 3o5 ) on trouvera
sle.\Ju-\-P.^u —
on en conclura la valeur de R», on aura de même la valeur du second rayon de courbure R«, c'est-à-dire
Si Ion voulait avoir le lieu des centres de courbure, il suffirait d'éliminer v^ et w des équations (14)9 ce qui se ferait sans difficulté. Mais il sera plus simple de déânir cette nappe de courbure par deuï séries de lignes dont les unes correspondent à (^= constante et les autres à tv = constante, c'est*à-dire aux deux systèmes des lignes de courbure du paraboloïdc.
Si Ton élimine iv, on trouve
tt»Y> (a— tf)»^,
--r- -+• )— — t. Z' == 2« -h 3p — 2X, p* (tf-f-p)*
équations qui expriment que les lignes de la nappe de courbure qui correspondent à l'hypothèse v = constante, résultent de l'intersection de deux paraboloïdes ayant même axe que le paraboloïde proposé. De plus, en élimi^ nant successivement X, Y, Z, on reconnaît que ces courbes se projettent suivant des ellipses sur le plan des YZ et suivant des paraboles sur les deux autres plans.
Si au contraire on élimine i^ des équations (14)9 on aura
iifiA. de Mathém., t. XIX. (Août 1860. ) 20
( 3<^) les iroîs équations
-hrt' + 2<r.
qui expriment que les projections des ligues du second système seront des développées d'hyperbole sur le plan des YZ et des développées de paraboles sur l^s doux autres plans.
Au sujet des rayons de courbure, on peut remarquer que l'on a
^ ^ lU «(«-^)' R, ""«(« — u)'
D'où Ton conclut que le premier rapport reste constant tout le long d'une même ligne de courbure f^= constante, et le second tout le long d'une ligne de courbure w= constante. Cette relation, qui a été démontrée, par M. Ossian Bonnet pour les surfaces du second degré à centre, se conserve donc pour les paraboloïdes.
«HK&TMNS.
535. Si deux polygones, 1^ sont semblables , 2° ont les calés homologues parallèles, 3^ ont les intervalles entre les côtés homologues égaux, ces deux polygones sont circonscriptibles à des cercles. (Bordoni.)
