Le déterminant D peut encore s'écrire sous les

deux formes suivantes :

T)=z>lpq

Zi Zi Zi Zl

sfp \fp \fp \/p

Zi 2) Z3 Z^

)/p )fp ^ \/p v^ v^ \/? V^

Effectuant, par colonnes, la multiplication de ces deux déterminants et faisant intervenir les relations (19) et (20), on trouve

fiO clD dO dD

dxx dx-i dx^ dx^

On en conclut que

Théorème VI. Entre le volume V et les surfaces Sj, Ss9 S3, S49 on a la relation constante

43, La première des relations (11) comparée avec la relation (21) nous donne

D'où

Théobême VII. Le centre de la sphère circonscnte à un téiraèffre conjugué quelconque est constamment dans un plan pe/pendiculaire à Vaxe de la surface et à une distance du somme', égale à

n% €MftMNinKS PABAMLI«I1KS

ri Jr leir appliealMi ï la gMaélrie les panb»Uî4es (*)\

Pak m. C.-Alph. VALSON,

Professeur à la Faculté des Sciences de Grenoble.

J'ai essayé précédemment de faire une théorie générale de rellipsoïde et des figures qu'on peut tracer à sa surface, en parlant des méthodes de M. Lamé relatives aux coordonnées elliptiques. C'est l'objet d'une thèse éditée chez M. Mallet-Bachelier eu i854) et dont il a été rendu compte dans les Nouvelles Annales [voir année i85g, p. 4^ du Journal et p. lo du Btdleiin bibliographique) ,

Je me propose, dans ce nouveau travail, d'étendre les mômes recherches aux surfaces du second degré dénuées de centre et en particulier au paraboloïde elliptique.

{*) Le calcul difrérenitel fait partie de l'enseignement des lycées sous le nom de dérivées et de limite. Le nom ne fait rien à TafTaire. Ainsi ce Mémoire est à la portée des élèves des lycées, eiceptc ce qui concerne 1^ lignes géodésiques ; mais cette partie s'adresse aux élèves de l'École Normale et de l'École Polytechnique, et il n'y a pas de professeur qui ignore les travaux de MM. Lame, Lieu ville, Bertrand, ik>nnet sur cette géométrie des surfaces réellement supérieure, ( Nots du Rédacteur, )

VP

Des paraboloïdes orthogonaux.

Considérons le syslème des trois équations

dans lesquelles e conserve une valeur fixe et où Ton donne aux variables u, v', vv toutes les valeurs possibles, pourvu toutefois que u reste toujours supérieur à e et que w lui soit au contraire toujours inférieur.

On vérifie facilement que ces trois équations appartiennent à trois séries de paraboloïdes dont les deux premiers sont elliptiques et le troisième hyperbolique, et de plus que ces surfaces sont orthogonales. L'équation qui exprime, par exemple, que les deux premières surfaces se rencontrent à angle droit est

u V II — e V -^ e

et elle se déduit immédiatement des deux équations de ces surfaces en les ajoutant et supprimant le facteur commun u -+- 1'.

Ce système est analogue à certaines surfaces orthogonales du second degré douées de centre qui constituent la base de la méthode des coordonnées elliptiques. Dans le ca« actuel, on aura k considérer ce qu'on peut appeler les coordonnées paraboliques dont je vais examiner les principales propriétés.

PROPRIÉTÉS BES TITRilÈDRES CONJUfilliS RJUIS LES SURFACES nu SECOND RBiiRt

et soIntioB de la qjiiestioiL 524 (Fare) ;

Par m. pain vin,

Profeœettr.

1 . Un tétraèdre est dît conjugué lorsque chacun de ses sommets est le pôle du plan qui passe par les trois autres.

Je désignerai par M, , M, y Mj , M4 les quatre' soQimets d'un semblable tétraèdre, et par (oti, yi, Zj), (x„ji, z,) (Xtjféf «j), (x4,/4» ^4) leurs coordonnées* respectiTes.

1°. Surfaces à centre.