Le déterminant D peut encore s'écrire sous les

deux formes suivantes :

D=^pq

.17| X2 Xy X4

sfp >fp ^ \fp'

Z| Zj «3 ^4

\fq >R ^ sj^ I I I I

^ )fp \/p \/p

^ yfq >fq )fq

Xx X-x X3 J?4

Elffecluant, par colonnes, la multiplication de ces deux déterminants et faisant intervenir les relations (19) et (20), on trouve

rH) ^ £P ^ dxx dxi dx^ (/Xi

On en conclut que

Théorème VI. Entre le volume V et les surfaces Si, Sj, S3, S4, on a la relation constante

13. La première des relations (11) comparée avec la relation (21) nous donne

( ^98) D'où

Théorème VU. Le centre de la sphère circonscrite à un tétraèdre conjugué quelconque est constamment dans un plan perpendiculaire à l'axe de la surface et à une distance du sommet égale à

DIS COORDONNÉES PABABOLIOUBS

et de leir applicalioo à la géonétrie des paraboloïdes (^) ;

Pa» m. C.-Alph. VALSON,

Professeur à la Faculté dea Sciences de Grenoble.

J'ai essayé précédemment de faire une théorie générale de l'ellipsoïde et des figures qu^on peut tracer à sa surface, en partant des méthodes de M. Lamé relatives aux coordonnées elliptiques. C'est Tobjet d\ine thèse édilée chez M. Mallet-Bachelier en 1854^ et dont il a été rendu compte dans les Nouvelles yénnnles [voir année 1829, p. 46 du Journal et p. 10 du Bulletin bibliographique).

Je me propose, dans ce nouveau travail, d'étendre les mêmes recherches aux surfaces du second degré dénuées de centre et en particulier au paraboloïde elliptique.

(*) Le calcul difTérentiel fait partie de renseignement des lycées sous le nom de dérivées et de limite. Le nom ne ftiit rien à raffaire. Ainsi ce Mémoire est à la portée des élèves des lycées, excepté ce qui concerne les lignes géodésiques ; mais cette partie s'adresse aux élèves de l'École Normale et de rÉcoIe Polytechnique, et il n'y a pas de professeur qui ignore les travaux de MM. Lamé, Liouvillc, Bertrand, Bonnet sur cette géométrie des surfaces réellement supérieure. ( JVo/j du Rédacteur. )

Des paraboiddes orthogonaux.

Considérons le système des trois équations

\ tv e — w

dans lesquelles e conserve une valeur fixe et où Ton donne aux variables u, v^ \v toutes les valeurs possibles, pourvu toutefois que u reste toujours supérieur à e et que tv lui soit au contraire toujours inférieur.

On vérifie facilement que ces trois équations appartiennent à trois séries de paraboloïdes dont les deux premiers sont elliptiques et le troisième hyperbolique, et de plus que ces surfaces sont orthogonales. L^équation qui exprime, par exemple, que les deux premières surfaces se rencontrent à angle droit est

et elle se déduit immédiatement des deux équations de ces surfaces en les ajoutant et supprimant le facteur commun

Ce système est analogue à certaines surfaces orthogonales du second degré douées de centre qui constituent ]a base de la méthode des coordonnées elliptiques. Dans le cas actuel, on aura à considérer ce qu'on peut appeler les coordonnées paraboliques dont je vais examiner les principales propriétés.

( 3«4) retranchant de cette équation Tidentité

dx p ^ i ' il vient

ii^'-'^f—^) =(^-x)'[C-(z-x)-i'/'.].

Si p est positif [z — x)^f devient inCni lorsque x = z ^ si p est négatif, c'est {z — xy qui devient infini ; la continuité exige donc que p = o : donc

M et m étant la plus grande et la plus petite valeur de /'(x) dans l'intervalle de x k z, R — M(z — x) et R — m(z — x) sont de signes contraires^ donc

R=(»-^)/'[x+G{3-x)], ou

R ^h/'ix-^Oh).

0 et h comme ci-dessus.

3. Si Ton fait dans ( A) p = /i, et ensuite p = o, on obtient

R= /-+'(x-heA) (Cauchy),

I^ nombre/? qui entre dans la formule générale pouvant prendre toutes les valeurs depuis o jusqu'à n^ donne des limites plus resserrées que celles qui sont en usage.

Remarque. L'auteur fait observer que ce procédé est analogue à celui de Sturm (Coufs it Anafysoy t. I^

(3.5) p. 87) \ mais il donne encore un second procédé fondé sur le calcul intégral, et qui a déjà été employé par M. Jurgensen, géomètre danois (p. 308)4

4. Série de Maclaurin (^). Faisant x = o et remplaçant h par X, ou a

(TOlrt. VII,p. 14o);

Par m. J.-Ch. DUPAÏN,

Professeur.

L'énoncé nous semble devoir être un peu modifié. Toici nos notations : Par un point P de la surface d'une sphère, nous menons deux arcs d'un quadrant PÂ, PB, perpendiculaires entre eux. Soit M un point à déterminer ; nous traçons l'arc de grand cercle AM qui intercepte sur PB l'arc PC = n ; nous traçons encore Tare de grand cercle BM qui intercepte sur PA l'arc PD = ^ ; enfin nous appelons p l'arc PM et 0 l'angle MPA. On peut prendre pour coordonnées du point M, Ç et yj, ou p et 9. On passe d'ailleurs d*un système à l'autre au moyen des formules

tangg= tangp.cosO, tangn = tangp.sind. En géométrie plane l'équation d'une droite perpcndi-

C^] M.Houel, le savant professeur de Bordeaux, croit que la formule appartient à Stirling. A examiner. Quelle est la forme du reste pour une writ té^yhriennc a plusieurs variables?

• (3.6) culaîre à Taxe polaire est

__ A co$t

et réquation de l'hyperbole ëquilàtère qui rencontre Taxe polaire est

cosar

Sur la sphère, l'ëquation du grand cercle perpendiculaire à PA sera Ç = constante, ou

tangp = — -»

réquation d'une hyperbole équilatère rencontrant PA sera

lang* I — tang* » = A ou tang» p =