MATHÉMATIQUES SPÉCIALES

C0MPO8ITXO2V DU II JUILLET 1860.

Mathématiques. (Prixd*honneur.)

Ou donne deux ellipsoïdes A et B. On demande le lieu dos sommets des irièdres dont les faces sont tangentes à rdlijisoïdo A, et parallèles à trois plans diamétraux conjugués <io B.

COMPOSITION DU la JUILLET 1860.

Chimie.

Pi^pmièê^ ^uvsfion. L'ammoniaque.

l>tnéxièmii i/aesiion. Tout Vasote contenu dans un

( 323 ) mètre cube d'air humide à lo degrés et o"*,75, étant converti en cyanure de barium par son passage sur de la baryte chaujOTée au rouge avec du charbon, on demande :

1°. Combien il se forme de cyanure de barium;

a®. Combien ce cyanure de barium, étant converti en ammoniaque sous Tinfluence d'un courant de vapeur d'eau a 3oo degrés, donne d'ammoniaque;

3®. Combien cette ammoniaque, étant convertie en acide azotique, sous l'influence de la mousse de platine et d'un courant de vapeur d'eau, donne d'acide azotique ;

4®. Combien cet acide azmique donnera d'azotate de potasse.

COMPOSITION nu l4 JUILLET l86o.

Physique.

1*. Capillarité.

a®. Un récipient A de 3 litres de capacité peut être mis en communication avec une pompe foulante P et avec l'air extérieur. La soupape R ouvre la première communication, le robinet R' la seconde. Le récipient A est primitivement plein d'air sec à o degré et 0^,760. La pompe P puise dans un gazomètre de l'acide carbonique a la pression constante de 0^,76 et à la température de o degré, et elle peut l'injecter en A, lorsque R s'ouvre; le corps de pompe a une capacité de 1 liires. Ceci posé, on ferme R', on donne un premier coup de piston, et quand le mélange gazeux est bien achevé, on ouvre R' pendant un instant de manière à ce que l'équilibre de pression se rétablisse entre A et l'air extérieur; cela fait, on ferme R', on donne un second coup de piston, et ainsi de suite, en prenant soin chaque fois de rouvrir le robinet R'pen* dant un moment. On demande combien il faut donner de

(3a4) coups de pbton au moins pour qu^îl ne reste plos que I centigramme d'air dans le récipient A.

Le litre d'aîr, dans les circonstances normales, pèse 16^,293. On néglige la capacité des conduits de communication entre la pompe et le récipient. On suppose nulles les variations de température pendant rexpérience. On suppose la pression extérieure égale à 0^,76, la densité de GO* par rapport à Tair 1,5?.

LOGIQUE. — Sciences.

COMPOSITIOH DO 9 JUILLET 1860.

Mathémaiùjues,

Première question, — La surface d'un triangle ABC est ^ale & un carré donné. Le côté AB est égal à une ligne donnée C^ la difierence (A — B) des angles adjacents est ^ale à un angle positif donné oc, moindre que i8o degrés. On propose de calculer les angles A et B. Le problème est-il toujours possible, et admet-il j4usieurs solutions?

Deuxième question. — Soient AMA' et BNB' deux circonférences concentriques, et A A' un diamètre fixe; soient OM el OM' deux droites rectangulaires menées

par le centre O, dont l'une coupe les deux circonférences

( 3i5 ) en M et N, et Tauire en M et N'. On abaisse sur A A' les perpendiculaires MQ et M'Q'j des points N et N', on abaisse sur MQ et M'Q' les perpendiculaires NP, N'P'. Enfin Ton joint OP et OP', et l'on forme ainsi Tangle POP'. Comment doivent être tracées les deux droites rectangulaires OM, OJVl' pour que l'angle POP' soit le plus grand possible?

GOMPOSITIO» DU lO JUILLET 1860,

Physique et Mécanique,

Première question. — On a deux morceaux de métaux diilérents dont les capacités calorifiques sont inconnues. L'échantillon du premier métal pèse a kilogrammes, il est chautlé à 80 degrés^ l'échantillon du second métal pèse 3 kilogrammes, et est chauffé à 5o degrés. On plonge ces deux échantillons ainsi chaudes dans i kilogramme d'eau à io degrés, et la température finale du mélange est 26^,3.

On recommence rexpérience, en chaufiant le premier métal à 100 degrés et le second à 4^ degrés, et en les plongeant toujours ensemble dans 1 kilogramme d'eau à 10 degrés-, cette fois la température finale est 28^,4 •

On demande de déterminer, d'après ces données, les capacités calorifiques de deux métaux; on néglige les pertes de chaleur qui se fout à l'extérieur, ainsi que Tin* iluencc du vase dans lequel le mélange s'opère.

Deuxième question, — Faire connaître les lois de l'écoulement des liquides, et les expériences qui servent à vérifier ces lois.

Histoire naturelle.

Première question:- — Des mammifères; de leur oq^anisalion et de leur classification.

Deuxième question. — Structure de la fleur. LOGIQUE. — Lettres.

Dissertation française, (Prix ^'honneur. )

Faire voir que la science humaine est nécessairement on mélange de connaissances solidement démontrées, et d'ignorances reconnues invincibles.

Mathématiques .

Première question. — Etant donnés deux parallèles AT, yz^ et un point À sur la première, oi^ mène par ce point une sécante quelconque AB *, et par le point B, où elle rencontre la seconde parallèle, on élève BC perpendiculaire à AB. Au point C on fait Tangle ACD, double de BAC, et du point A on abaisse sur CD la perpendiculaire AM. On propose de démontrer que si Ton répète la même construction pour d'autres sécantes menées par le point A, tous les points analogues à M seront sur une même circonférence de cercle.

Deuxième question. — Une pyramide régulière à base hexagonale, dont la hauteur est de 90 centimètres, a lui volume de i mètre cube. Quel est le côté de Thexagone cfuî lui sert de base?

RHÉTORIQUE. — Sciences.

COMPOSlTiOV OtI iji svntvT %S6o.

Mécanique.

i^. Un vase prismatiqne a parois verticales est plein d'eau, et fixe sur une base qui se meut borizontalement avec une vitesse de 4 mètres par seconde. La direction du mouvement est perpendiculaire à Tune des parois du vase. On perce dans cette paroi un orifice à bords amincis et dont le centre est à 9 mètres au-dessous du niveau du liquide dans le vase. On conçoit qu'à un instant donné 9 on mène dans l'espace, par le centre de l'orifice d'écoulement, deux axes fixes, l'un vertical, l'autre horizontal et parallèle au mouvement du vase. Ceci posé, on demande k quelle distance de ces deux axes se trouvera à Tinstant 9 -f- a secondes la molécule liquide qui partait du centre de l'orifice à l'époque 6. On résoudra la question en supposant successivement que le vase marche dans le sen« de l'écoulement et en sens inverse. On suppose que pen- • dant l'écoulement le niveau ne varie pas dans le vase; on suppose en outre que dans le lieu donné la vitesse acquise en une seconde par le corps qui tombe est 9>8o88.

2®. Décrire les machines à vapeur locomotives, et expliquer comment elles fonctionnent.

COMPOSITION DU l3 JUILLET 1860.

Mathématiques .

I®. Exposer les lois, du mouvement des planètes. Dire comment l'observation a pu y conduire Kepler, et quelles conséquences on en a tirées.

7?. Mener une tangente à uneellipse, parallèlement à une droite donnée.

(3a8) ÉCOLES DU GOUVERNEMENT.