DONNE

AB = 843»,64

CAB=59«42'28,4, CBA=6i«i9'i7,6.

SOLLTWN DE LA «DRSTION 523 ET ANKOlTftS

(Tolr pac« îU); Par m. CUENOUD, db Laxtsannk.

Une somme C placée à intérêts simples pendant n années, à î pour loo par an, devient, au bout de ce temps

en sorte qu une somme C, payable dans n années, vaut

( 337 ) actuellement

C looC

m I oo -H m

lOO

Eln appliquant le résultat ci-dessus auiî diverses sommes mentionnées dans Fénoncé, on trouve que

La somme Ci, payable dans ;i, ann., vaut actuel

lOO -h /î, i

lOOCa lOO-f-'ïi'

^ looC.

^ ^ ioo-H/ïj,«

En ajoutant ces divers nombres, et désignant leur somme par y. on a

lOO + Aii 100 + «sl

V=,oo( ^ : + -

Cette somme V vaudra, dans t années, V | i -h — 1>

et comme cette valeur doit être précisément égale à

Cl + Ct 4- . . . -h Cp, on aura

d'où

lV=^rr-(C. + C,-h.. -hC^ — V),

OU

lOO

r(c.-!2î£L-.U(c, -ooC' u...

L\ 100-H/I|l/ \ lOO 4-/1,1/

\ '^ IOO-h/»,l/J

iifffi. <i(f Maihémai., t. XIX. (Septembre i86o.) 32

ou

V 100/ C|/I|/ Cî/ljl ^P^F^ \

V \ioo-h/7, 1 1004-/2,1 '' ioo-*-«^«/

ou

enfin

^ ' V \ioo-hnii loo-f 7Z2< **' loo-*-/?^//^

Remarque, On peut présenter le calcul d^une manière un peu diflerente, qui conduit à un autre résultat.

Désignons par k un nombre d'années plus grand que les nombres /ii, n^^ na,...^ rip^ t. Le créancier qui recevra la somme Ci dans rii années pourra placer immédiatement cette sonmie, en sorte qu'à la fin de la k^^*^ année il pourra disposer d'une valeur

S'il place de même la somme Ct, après l'avoir reçue, elle vaudra, à la fin de la fr^*"* année,

et ainsi de suite. La dernière somme C^ vaudra paiement, à la fin de la k'^"^ année,

Afin que le créancier ne subisse ni gain ni perte en recevant la somme totale Ci -+- Cj -+-...+ Cp au bout de t années, il faut qu'à la fin de la k*'^ année cette somme totale ait la même valeur que la somme des nombres (a),

{*) MM. V. Nadal, professeur à l'école de Sorèze , et Th. Vannier, do Bour0-1a-Reinc, donnent la même solution.

( 339 ) {b),...,, (/). On a donc

\ lOO / \ lOO /

ou, en réduisant,

(C. + Ca -f-. . .-f- C^)f = C, », -H Ca>i, -h. . .-h C;,>|^5 d'où

^^' - C. + C»4-...+ Cp

Telle est la formule que l'on emploie dans le commerce pour la recherche de Véchéance commune de plusieurs billets. Le résultat qu'elle fournit diffère assez peu de eelui que donne la formule (i). Du reste, Tune et l'autre sont vraies, suivant le point de vue auquel on se place : la formule (i) est celle qu'établirait le débiteur, tandis que la formule (2) est celle que doit trouver le créancier. En effet, le débiteur cherche quelle est la somme qu'il doit placer actuellement pour obtenir Ci dans rii années, ou pour obtenir Ct dans n^ années, etc. Il ne dispose donc que des valeurs actuelles, plus petites que les nombres Ci, Ct^ etc., et ce sont les intérêts que peuvent rapporter ces valeurs actuelles qu'il doit chercher à équilibrer pour établir l'équation en t. Le créancier, au contraire^ pourra disposer des sommes Ci, Ct , . . . , C^, et ce sont les intérêts de ces sommes qui doivent donc entrer dans Téquation. Les deux résultats doivent donc être différents, et aucun ne peut avoir la prétention d^être plus exact que l'autre. Si la formule (a) est toujours employée dans le commerce,

( 34» ) elle le doit à sa plus grande simplicité et au peu de diffé* renée qu'elle présente avec la formule (i). Il y a ici une différence analogue à celle qui existe entre Tescompte en dedans et Tescompte en dehors.

Du reste, les deux formules sont identiquement de la même forme, comme on peut s'en assurer en remplaçant dans (i) V par sa valeur; elles sont toutes deux Tapplication du théorème des moments, Tune pour les. valeurs actuelles, Tautre pour leB valeurs à l'échéance. En désignant par Ca la valeur actuelle d'une somme C payable dans n années, les formules (i) et (2) peuvent se mettre sous la' forme

, , InC