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Annuilés. Voici maintenant un calcul assez intéressant relatif aux annuilés. On trouve, dans tous les ouvrages d'algèbre, que pour rembourser en n années une somme C, il faut payer annuellement une somme
r désignant l'intérêt annuel de 1 fr.
Pour appliquer cette formule au cas d'un emprunt contracté par obligations^ je désignerai par m le nombre total d'obligations et par s la valeur de chacune d'elles; j'aurai alors
et, par suite,
msr(i -l-r)"
<te me propose de chercher combien d'obligations
( 34. ) peuvent être remboursées la i'*, la a*, la 3", ... ^ la p'**^ année.
La i**" année, il faut prendre sur la somme a l'intérèl de la somme ms^ qui est msr, en sorte quHl reste pour le service de Tamortissement une somme de
msr a — msr =
Le nombre Xi d^obligations que Ton peut rembourser la 1^^ année s^ obtient en divisant le résultat précédent par la valeur s d'une obligation ; j'ai donc
(i-hr)'- I
Le nombre x^ d'obligations que l'on peut rembourser la 1^ année se compose du nombre Xi remboursé la i'^ année, augmenté du nombre d'obligations que peut donner l'intérêt de ces Xi obligations, intérêt qu'il n'est plus nécessaire de payer la a® année. J'ai donc
X, = x, 4- ar, r = J7, (i H- r) = -—^-^-^.
Le même raisonnement montrerait que le nombre ^3 d'obligations remboursables la 3^ année serait
(iH-r)-
En général, le nombre d'obligations à rembourser la pUmt année serait
mr{i-\' ry-'
Le nombre d'obligations qui se trouveront remboursées à
(34^ ) la lin de la p^^"^ année sera
mr mr{\ 4- r) mr{i-hrY
(i4-r)" — I "^fi + /•)" — 1 (i4-r)- — i "*■■*'
ou
Cette formule montre immédiatement que le nombre d^obligations qui seront remboursées à la fin de la i»**"" année est m.
Le nombre y^ d'obligations qu'il reste à rembourser k la fin de la ;>**'"* année est
m[{i -Hr/— i]. /w[(i-4-r)" — (l -hry]
Remarque. Ces résultats ne sont pas entièrement nou-* veaux, mais ils sont peu connus. M. Boudsot est arrivé aux mêmes formules dans un travail fort intéressant qu^il a publié dans les Mémoires de la Société d'émulation du Doubs (1857), mais en suivant une marche différente: j'ai cru utile de vous communiquer ce petit calcul.
Note du Rédacteur, Dans les entreprises industrielles, le nombre annuel d'obligations k rembourser dépend aussi des béné^ces ott pertes.
BXHtCKBS 811 LES i^VATHMIg NllÉUmBS
(voir t. X, p. M; t. Xf, p. 119; t. XII. p. 819; t. Xlll, p. (99 e» 96f ).
Le savant professeur de Funiversitë de Padoue (*), auteur de la méthode dés équipoUences» M. Bellavitis (Giusti), a publié en 1857 Touvrage suivant : Sulla resoluzione numerica délie e^uazibm (grand in-4 de 57 p. Venise. )
C'est un recueil de tous les procédés en usage pour résoudre les équations numériques, algébriques et transcendantes, avec douze exemples scrupuleusement discutés, d'après lesquels on apprend à se diriger en d'auues cas. L'auteur recommande, avec raison, cette très-excellente
pratique : Soit
l'équation donnée^ on là divise en deux parties
• /(x)=:/.(x)^-/,(x) = o; on construit par points les deux courbes
les abscisses des points d'intersection de ces deux courbes donnent les racines réelles de l'équation. Ce procédé sert au moins à découvrir les nombres entre lesquels ces racines sont comprises, bien entendu qu'on fait le partage de manière a obtenir les cas les plus faciles à construire. Pour les racines imaginaires, on remplace x par u + vi^ et les deux courbes en u et (^ font connaître Texistence des racines imaginaire^.
(") Né à Bassano en i8o3.
La méthode Budan, que les Anglais ei les Allemands désignent sous le nom de Horner et aujourd'hui devenue classique, est très-développée, et en certains cas perfectionnée, dans ce Mémoire.
Voici quelques exemples tirés de ce Mémoire :
4*-+-5'= lo; posant ^
on trouve
^28-+-*— V^65-i-jc-h« = o,
*/' + (x* -h j^) jr — aï» -H X = o,
jx= 3,8347,
jr^ — 4^/ -f- 2«» — a:^ = o, (x— \)y^ + «» = o,
ar=o,8i83o4,
«• -^y* =r 3oo, X» -H /' = 80, «» = i4>a43,
sin«(6y) =8inf sin^(5f), sin^ = 0,23122417»
j:« -H ar -h I = o, * = 0,790667 -f ^0,30050^. '
( 345 ) SUR LR THÉMltlR FAllRK IT COURBES PilRALLÈLES
rvolrpiva tS4);
Paa lb RÉviREirn G. SALMON.
Note du Rédacteur. Le raisonnement porte sur des formules du savant ministre -, ses ouvrages, d'un mérite hors rang, connus dans toute contrée civilisée, sont presque totalement inconnus en France.
Plusieurs éminents professeurs ont fait des traductions, mais qui ne trouvent pas d'éditeurs, et cela pour une raison commerciale très -naturelle. Désormais tout ouvrage qui ne porte pas pour enseigne conforme n'a qu^un minime nombre d'acquéreurs. Commerçant, voudrîez-vous vous charger d^une marchandise qui n'a pas de chance de débit ? Par contre, les ouvrages de pbysique, de chimie, d'industrie, en général, tout ce qui peut enseigner à confectionner quelque objet matériel, ^vendable, jouissent d'une grande faveur en librairie*
Nous croyons donc nécessaires quelques explications : nous nous servirons de quelques expressions que nous aYODsdéjà expliquées (t. XVIII, p. ^49), et sur lesquelles nous ne reviendrons pas.
I®. Soient
les équations de trois côtés d'un triangle;
représentera l'équation d^une conique. Le triangle est conjugué à la conique. En effet, on aura
(346) les droites reprësentf^es par les équations
N-hM = o, N — M = o
touchent la conique, et
est l'ëquation de la corde de contact. Mais Tîntersection de ces tangentes est la même que celle des droites M, N ; donc ce point d'intersection est le pôle de la droite L ; on démontre que l'intersection de ]M et de L est le pAle de la droite M ; de même Fintersection de M et de L est le pôle de la droite N ; alors les deux ungentes N -+- L ^ — i, N — L v^ — I sont imaginaires; c'est que ce pôle est situe dans l'intérieur de la conique.
La conique
aLM + ^LN-hrMN=:o
passe évidemment par les sommets du triangle conjugué. 2^. Soit
U = flx* -H by -i- cz^ -h adfz -H a«« -h ^/xjr = (fl, by c, rf, tf, /) (x, ^, 2) = o
Féquation d'une conique.
Représentons par A son discriminant ou invariant principal; on a
A = ^^c + ndef— arP'—bè* — c/\
Soit V=o une seconde conique ayant pour coefficients û', 6', c\ d\ €f^f\ et soit ù! son discriminant, U + ^V= o, où X est une constante arbitraire, est Té» quation d'une troisième conique passant par les qu^e points d'intersection des deux premières coniques. Désignant par ù!^ le discriminant de cette troisième conique,
(347) ordonnée suivant les puissances de A, on a
ù'' = A H- \e -+• Ve' H- VA',
= a'(be — (P)'-h b* [ca — <?') -h c' [ab — /«)
