PC

Il s'ensuit que les triangles A^PG^ APC ont les angles A' PC, APC égaux entre eux, et que les côtés qui forment ces angles sont proportionnels^ donc les triangles A' PC') APC sont semblables et donnent

"cT-pc^''-

D'où

Ainsi la valeur de C'A' est invariable. Ce qui démontre que la projection de la courbe ade sur le plan PHC est une circonférence qui a pour centre le point C'^ donc cette courbe est une ellipse. Les diamètres des circonférences C , C sont égaux aux axes de Tellipse obtenue.

(voir p. 183);

Par M"« Adolphine D***.

Le produit de trois nombres entiers consécutifs ne peut être ni un carré, ni le double d'un carré.

I. J'appelle ces trois nombres A , A -h i , A — i et J* un carré. Je devrais avoir

( ^89 ) OU bien je puis écrire

(A' — i)A= bK

Le nombres A et A' — i ne pouvant pas avoir de facteurs communs doivent être deux earrës , car ils doivent contenir tous leurs facteurs premiers a des puissances paires . Mais comme A* — i ne peut pas être un carré parfait, la rdation précédente n'est donc pas possible.

On ne peut pas non plus satisfaire par dés nombres entiers à la condition

Pour le démontrer, je vais prouver que A ne pourrait être ni pair ni impair.

1^. Si rpn supposait A pair, la relation

montrerait comme tout à l'heure que A* — i doit être un carré, ce qui est impossible.

a^. Si l'on supposait A impair, il aura la forme 2B4- i . Il faudrait donc avoir, après les simplifications ,

2B(B4-i)(aBH- i) = ^»j

B est premier avec B -4- 1 et avec aB-f-ijB-f-iet 2 B + I sont premiers entre eux , car un facteur commun à ces deux nombres diviserait leur différence B^ ce qui est impossible puisque B est premier avec B + i «

Je vois donc par là que sur ces trois facteurs deux seraient des carrés , et le troisième multiplié par 2 serait aussi un carré. II faut donc qu'une des combinaisons suivantes :

(î) aB, B+ I, 2B + I,

(2) 2(B-hi), B, 2B-1-1,*

(3) 2(2Bh-i), b, B+i,

Ann. de Mathàmat,, l. XVI. (Août iSS;.) Ï9

renferme trois carrés parfaits. Or cela est impossible, puisque dans chacune d'elles on trouve deux nombres entiers consécutifs: ainsi 2B et 2B-h i pour la première, 2B 4- I et 2B -H 2 pourla deuxième cl B etB-f-i pour la troisième. La relation

(AH- i)(A)(A— i) = 2A»

est donc impossible , et c'est ce que je voulais démontrer.

Note du Rédacteur, Cette bonne démonstration prouve également que le produit de trois nombres consécutifs ne peut être aucune puissance parfaite d^un nombre, et cela existe probablement pour le produit d'un nombre quelconque de nombres consécutifs.

Le théorème de M. Faure est démontré par Coldbach [Corresp, math, et phjs,, t. H, p. 210). (Prouhet.)

(voir p. 179);

Par m"*' Adolphine D***.

Démontrer que deux cercles concentriques ayant pour

rayons R etR ^ — i se coupent à angle droit (*).

Je trace deux cercles de centres A et B , et soit C un point d'intersection. Je joins AC et BC. Pour (|ue ces

(*) Deux coniques AomoiA^/fj et cof}c<;/i/r/yu<?i ont à rinfini deux points de contact, réels pour l'hyperbole, imaginaires pour Tellipse, vérité intuitive en considérant les asymptotes. Deux paraboles égales et de mène axe focal ont à rinfini deux points d'osculation. On conclut de là que deux coniques homothèteseï concentriques sont lir perspective de deux coniques ayant un double contact. En général, deux courbesdedegrém, AomoiA^/» cl ayant mêmes asymptotes, ont à Tinfîni m points de contact réels ou imaginaires. Une propriété analogue existe pour les surfaces. Tm.

( ^9' ) deux cercles se coupent à angle droit , il faut que