On prend les coordonnées trilitières — > ~; le
reste comme pour les surfaces.
11. Dans Félat actuel de la science ^ telle est la méthode à suivre quand on a pour but la scùsnce. Si, au contraire, on a pour but les examens, la inélhode peut encore convenir. Il suffit de remplacer la <{uatrième coordonnée par Vanité et les coefficients à indices par les coefficients vulgairement employés.
SOLUTION DE U OOBSTION 389
(foijrpa^e 184);
Par m. COMBESCURE,
Professeur à Montpellier.
Soit
(a) {x -h ^~'y = ^^ -h A^x'-^ -h AiJf-^ -+-. . .
les  désignent les coefficients binomiaux.
Si Ton élève le deuxième membre au carré , le terme indépendant de x sera évidemment
on aura donc
1 Ai = le coefficient moyen de (x -har-^)""
On peut trouver d'autres relations en cherchant le coef-
( 297 ) ficient d'une puissance déterminée de x dans le carré du second membre de (a) et le comparant au coeflGcient de la même puissance de x dans (x-f-J^""^)*'. On fournirait encore d'autres relations en élevant les deux membres de (a) à une puissance indéterminée ou en multipliant cette même équation par d'autres équations analogues où l'on changerait r en d'autres indéterminées.
(voir p. 178) ;
Les déterminants
X X z a p 7 abc
s'annulent pour
et pour
Pae m. combescure,
Professeur à Montpellier.
its
X jr
X ■= Ot.^
jr-?.
à cause de Tidentité de deux lignes dans chacun dV'uv pour chacune de ces substitutions.
La conique
uw — p^ = o
passe donc par les deux points {a^^j y}^(a\^\y'). Coma
ax -^^ bjr -^^ cz y z
aa H- ip 4- ^ry 8 7
au point commun à la conique et à la diroile
«rjr-f- bx'^rc^rr: o(*),
ou a
Mi
rt». =
aa -4- ^ P -H C7 p 7
fl' -f- ^' -H c* b c
aa H- ^P 4- C7 p 7 aa'-+-^P' + C7' p' 7'
ou
auy — A^ —
■Bz,
av^ = sCy — 5D«,
eu faisant
na H- ^P -f- C7 7 «' 4- ^' -f- c' c
aa -H 6p
En exprimant que l'équation
UtWi — p. = o
est décomposable en deux facteurs linéaires en j^ et
on a
( AB' — BA')^ =r 4,?'(CB' — DA') (AD — BC),
C) Sur la page 178 il faut remplacer > , // , v par rt , h , c.
( ^99 ) ce qui, par la règle de multiplication des déterminants, se réduit en supprimant un facteur commun a* et extrayant la racine carrée
=±:ts^(aa-h bP'i-cf)(aa' -+• bp' -h cy')ly
OU
«' P' 7' abc
Pour que la droite soit tangente , il faut donc que
et s sera indéterminé, ou, si I n'est pas nul , que
±:V^(fla-f- b^'\-cy)(aoL' -h bp' -hcy')
Une proposition analogue doit avoir lieu pour la surface du troisième ordre uwu — f ^ = o, où
oT P"
rf
et le plan ax -^ hy-^^ cz + du = o.
( 3oo )
GÉOMÉTRIE AL60RITIIIUODE
I . Selon Kant, selon ce philosophe par excellence, car il n'est pas rhéteur (* ) , un jugement est synthétique lorsqu'il réunit deux idées dont Tune n'est pas une conséquence nécessaire de l'autre. Par exemple, un corps esi pesant est une proposition synthétique. On ajoute («w- Ttôfiftt) au corps une qualité qui n'est pas renfermée dans l'idée du corps : on peut concevoir une substance non pesante; tandis que cette autre proposition, un corps est étendu, est un jugement analytique. L'idée de rélendne est déjà comprise dans celle du corps; on l'en tiétache seulement (âtv«Au«). Or le but de toute science est decon^ naître, de trouver ce qui est inconnu. Il y a pour cela deux moyens : ou l'on réunit des idées connues pour en former une idée complexé qui était inconnue : c'est procéder par synthèse; ou bien on décompose l'idée complexe inconnue en idées simples connues : c'est procéder par analyse. Supposons qu'un homme se trouvant en A demande le chemin pour aller à l'endroit B; on peut lui indiquer, partant de A, tous les endroits par lesquels il doit successivement passer pour arriver à B: c'est la route synthétique; on peut aussi lui indiquer les endroits qui mènent de B vers A : c'est la route analytique* La première route est la plus naturelle lorsqu'elle mène au but : aussi c'est celle qui est la plus anciennement suivie; mais on n'est pas toujours sur qu'elle mènera au but, car on ne
{*) Nos philosophes actuels visent h l'éloquence , considérant la philosophie comme une branche de la lil.térature et non comme une science. Les remarquables ouvrages du P. Gralry ne sont pas exempts de ce défaut.
{ 3oi ) ^ sait quelle direction prendre, tandis que la route analy* tique , dès qu on aboutit à un endroit connu , n importe leqiiel , atteint son but.
Les treize lii^res des Eléments sont un chef-d'œuvre de synthèse.
Euclide ( — 385), platonicien, voulait probablement rendre accessibles les écrits de son maître et particulièrement le Timéey où il est souvent question des polyèdres rentiers (^). Car, chose qui paraît singulière aujourd'hui, les anciens philosophes étaient géomètres. Euclide , partant des idées les plus simples , généralement admises surTespace, ajoutant, synthétisant vérités sur ▼érités , parvient au XIII® livre à l'idée complexe des polyèdres réguliers et démontre les propriétés mentionnées dans le Timée, On n'y rencontre aucune évaluation soit d'aires, soit de volumes ; c'était étranger au sujet. 11 suffit d'un examen superficiel sur le contenu et la forme du XrV® et du XV® livre pour se convaincre qu'ils ne peuvent êU'e'd'Euclide. On les attribue à Hypsicle ( — 23o). La Mécaniquje de Lagrange est un chef-d'œuvre d'analyse. Il décompose l'idée des 'vitesses ^virtuelles et en déduit tout ce qu'il est possible de savoir sur le mouvement et ses diverses causes. Toutefois, c'est une grande erreur de croire que jamais Euclide ne fait usage d'analyse et jamais Lagrange de synthèse. C'est une impossibilité logique; mais comme la synthèse domine dans la géométrie et l'analyse dans l'algèbre, chacune de ces sciences a été désignée par sa partie dominante. On a donné le nom de géométrie analytique à l'emploi de Tiustrument algébrique pour découvrir les propriétés de l'espace. Cette dénomination a le défaut d être trop ab-
(*) C'est l'opinion très-plausible de Dounot, estimé de Descartes, le plus intelligent des premiers traducteurs en français d'Euclide (iGi!^).
( 3oa ) soluc, irop exclusive. Aussi un mathématicien qui joignit à uu vaste savoir un grand fonds de charlatanisme et qui a souillé à dessein ses œuvres les plus oonsidéraMa d'une obscurité calculée, d'une profondeur factice, Wronski, substitue à cette dénomination celle de giorno inétrie algorithmique. Dans un Rapport sur uu Mémoire de Wronski, Lagrange et Lacroix ont loué et approaié cette locution. Elle est en effet très-caractéristique et &it ressortir la différence fondamentale entre la géométrie d'Euclide et celle de Descartes. Dans la première, les fi* gures sont tracées^ Tceil extérieur suit toujours les mouvements de Tœil intérieur ; tandis que dans la seconde, les Ggures sont présentées par des signes et ce n^cst guère qu'à la fin du procédé logique que l'œil intervient pour opérer les constructions : un procédé est graphique et l'autre est purement signalétique , en d'autjces ternies, purement algorithmique. L'instrument se compose d'équations dont le maniement est souvent très-pénible, surtout quand il s'agit d'opérer des éliminations. Dans ces derniers temps , les équations elles-mêmes étant présentées par des signes^ l'algorithmie géométrique a été censidérablemeut pcrfectioonée. La combinaison de ces signes, qui se fait pour ainsi dire à vue, amène avec une facilité étonnante des théorèmes d'une extrême généralité cl qu'il serait très-pénible d'aborder directement, même en s'aidant de la géométrie graphique. Cette uouvelle algorîtlimic est exposée avec une grande lucidité, d'une manière très-élémentaire, dans Touvrage suivant :
A Treatise of conic Sections, containing on account of some oj the most important modem algebraic and géométrie methorls, by tlierev. Georg. Salmon. Second édition, reviscd and cnlarged. Dublin, MDCCCL (*) :
* ' Il existe une troisième ôdilioii que nous no connaissons pas.
Traité des Sections coniques, où l'on rend compte de quelques-unes des plus importantes méthodes modernes, algébriques et géométriques^ par le rév. Georg. Salmon. Dublin , iS5o ; in-8 de 343 pages.
. Nous allons donner un spécimen de ces méthodes.
