KOTE SUR LES FORMULES D INTERPOLATION DE LAGRAN6E ET DE NEWTON

Si F [x) représente une fonction algébrique entière dont le degré ne soit pas supérieur au nombre entier m, el qui prenne les (m -h i) valeurs Mq, Mj, m, ,..., i/,„8 , »^n-i » «m lorsqu'on y remplace la variable x par les m-f-i valeurs différentes jTq, oTi, a^j,.-., a:,„î, x,„i, x„, , on sait que

(x — .re)(»y — J^Q. . .(-y-— j-m-^i) (-Ti — »y«)

(JT — X») (j — .r,).. .(x — J?^,)(.g^a:^,)

C'est la formule d'interpolation de Lagrange.

JNous allons établir, au moyen de cette formule, un principe qui nous sera utile 5 en voici l'énoncé :

Soîty*(x) le produit des (m -f- i) facteurs consécutifs x, (or -j- i), (a:+ 2) ,..., (or-f-m — i), (x -h m) 5 on aura, pour toute valeur de a:,

.0'^ (n, ,\^>--^''') „, /(fl. "»('«- 0/W 1.2.0... (m — ij/w== — m • f-

yyt(/w-~i)(/yi~2) /(.y) ^ 1 .2.3 X 4- 3

( 3i8 ) Par exemple, on a , quelle que soit la valeur de jr,

comme ou peut le reconnaître par uu calcul très-simple. Pour établir d'une manière générale Tégalité (1), proposons-nous de déterminer une fonction algébrique entière f (x) qui soit, au plus, du degré m et qui prenne les valeurs z/^, £i« , i/t, . . ., u^^i , i/m, lorsqu^on y remplacera

la variable j:paro, — i, — av«*> — ("* — ')ï — "*• Lafo^ mule d'interpolation de Lagrange donne immédiatement

■ ( \-~. f'^H- i)(a'4- 2).. .(jt-^-w — i)(jrH- m) * ^ I.2.. (//i — 1) m

^ j:(.r 4-i)...(jrH-/^"-i)(jr4-/? -f i)...(jr-hw~i)(x+w) .

^ "^ * p{p — i). . . 1 . 1 .. .(//f — /? — OC*" — A^j '^

"^ ( w — OC''' — ^) ('w — 3) ... I . I "*"'

Il est d'ailleurs évident que , ([uellcs que soient les valeurs supposées à i/^, i/i, Wjj..., u,n-i'i "m» ^^ fouction précédente prend ces valeurs lorsque Ton remplace X par o, — I, — 2î -.5 (ni — i)» — ffi' Or, si l'on suppose que chacun des nombres i/^^, i/, , Mj,."i "m-i ? "^ est égal au produit 1.2,3... (m — i) /m, l'égalité {2) deviendra