PROBLÈME GOMBINATOIRE SUR DES PLANS PASSANT PAR UN SYSTÈME DE POINTS

Par m. Jules BOURDIN, Élève du lycée Saint-Louis (classe de M. Briot).

Etant donnés dans Tespace m points dont quatre ne sont pas dans le même plan , trouver le nombre des points nouveaux qui résultent de l'intersection des plans qu'on peut mener par les points donnés.

Le nombre des plans différents qui peuvent passer par les m points pris trois à trois , est donné par la formule

Les intersections de ces plans trois à trois, s'ils étaient quelconques , seraient données, en représentant par M le nombre des plans, par la formule analogue

Mais ces plans ont élé menés par les m points donnés ; la formule (i) énumère outre les points cherchés : i" les points donnés, 2^ des droites passant par les points doniu*s, 3° des points multiples.

De là trois corrections à faire subir à la formule (1) , si

( 3i4 ) Ton lie veut oblenir ([ue les points nouveaux et uc compter chacun qu'une seule fois.

Première correction.

Par un des points donnés îl passe autant de plans qu'on peut mener de droites par les (m — i) points res-

tanls, c esl-a-dire -^ Je désigne ce nombie

par N; si je prends maintenant toutes les combinaisons de CCS N points trois à trois , j'aurai le nombre des intersections qui se confondent avec le point donne. Ce

, N(N — i)(N — 2) , nombre est — ^ ^-^ -^ la première correction sera

donc

Deuxième con^ction,

11 est à remarquer ([uc dans le cas général pour qu'il passe plus de deux plans par une même droite, îl faut cjuc celle droite joigne deux des points donnés, a et b par exemple-, la droite ab est alors rintersection couiinuurdc [m — 2) plans dont les combinaisons trois l\ trois

sont comprises dans la formule, mais qui par la première correction ont élé retranchées comme se confondant avec le point donné a\ ces mêmes combinaisons ont égalemcnl élé retranchées comme se confondant avec le point b\ il faudra donc comme deuxième ( orrcclion a jouter le nombre

àulanl de fois qu'on peut mener de droites par les m points

donnes, c'est-à-dire — - — ^^— ^ fois. La deuxième cor i ce -

tiou est donc

mfw— i) (ifi — 2)(/w — 3)(w — 4)

OU , en multipliant et divisant par lo,

Troisième correction .

Nous avons vu plus haut que les droites qui joignent les points donnés deux à deux étaient les seules qui fussent formées par Tintersection de plus de deux plans. Les points multiples, c'est-à-dire ceux qui donnent les intersections de plus de trois plans, se trouveront donc par l'intersection de ces droites avec les plans menés par les (tu — 2) points étrangers à la droite, pris trois à troi*, et dont le nombre sera

On voit auisi qu il y aura sur chacune (.les —

droites qui joignent les points deux à deux,

points cherchés et qui chacun auront été comptés par 1» formule (1) autant de fois qu'il y a de combinaisons deux ^ deux des (/// — 2) plans qui forment une droite, cVsl-à-dirr

■ ^ lois. La troisicnir et (IciUJcro corroc-

tioii sera donc

(m — 2) (/« — 3) (m — 4) r('w — 2) (ui — 3)

ou, cil inultîpliaiil et divisant par lo,

m (m — OC'^ — 2i)(/« — 3)(/iî — 4)

Le nombre des points cherchés sera donc compris dans la formule

M(M— i)(M--2) JV(W — i)(N— a)

on posant

Note» Ce problème a déjà été traité dans le Joiunal de M. Liouville, t. V, p. 264, mais on n'a pas eu égard à la première cl à la troisième correction.