SUR L'AIRE DU TRIANGLE SPRÉRIQUE
Par m. LEBESGUE.
Soient a, &, c les côtés, A, B, C les angles et S la surface d'un triangle spbérique. L'équation
S = A + B-f-C — TT donne d'abord
cos
- = sm I • 2 \
, /AH-B\ c /A+B\ . c
=s sin 1 I cos- -4- cos I I sm - ;
Va; 2 \2/2'
simplifiant par les valeurs de sin et cos de > formule de Delambre, il vient d'abord
( I ) cos - = cos - cos - -H sm - sin - cosC | ?
cos-
(3.0) puis^ en éliininaut cosC,
S cosn -h cos b -f- cosc -^ i
cos-= ;
4 cos- cos- ces —
cos' h cos' h cos' I
abc 2 cos - cos - cos —
Or on a
1 — (cos' a -f- cos'^ 4- cos'c) -h 2 cos a cosô cos<?
— I 4- cos'« -h cos'^ -4- cos'c -f- 2 cosfl cos b cosr
égaux respectivement a
, . /a -^ b A- c\ , f—a-^-b-^cK . (a — b + cX . /a-^b — i 4s,„ (^ js.n(^ js.D(^— ^— j».n(^— ^
4 ,osc [^ j cos (^ j cos (^ j j cos (^ —
Il résulte de là que
wS
^ I — cos -
/fl-|-64-c\ / — flr4-^4-c\ /a — A4-c\ /fl4-i
= tang ^ tang ^r— — tang
-j fang^î
c'est la formule de Lltuilicr.
Si Ton représente par a, |3 , y les arcs de grand cercle
fjui unissent les milieux des côtés a, i, c, on déduit de
Téqualion (i) , à cause de
a b . a . b ^ cosv = cos - cos — h sin - sin - cosC.
( 3ui )
les suivantes :
C0S7 = cos - COS — )
S b (4) ^ cosp = cos-cos->
s a cosa = cos - cos -•
Si nous représentons par A', B', C les milieux des côtés a , i , c , on sait que le volume V ' du parallélipipède, dont les deux arêtes coutiguës sont OA', OB', OC' (G étant le centre de la sphère), est donné par ré<]uation
V* = I — (cos* a -h cos*p + cos' 7) H- 2 cosa cos^ COS7
= 1 — COS' - ( COS* - H- COS* h COS* - 1
H- 2 COS - cos - COS - cos' —
Maïs Téquation ( 2 ) donne
cos* — h cos* — h cos* 2 cos - cos - cos - cos - = I ;
de sorte qu'on a *
(5) V* =. I — cos* - = sin* - ou V'=sm —
Ce théorème est de M. Cornélius Keogh, qui a fait d'ingénieuses recherches sur la trigonométrie.
Cette expression du volume V montre bien que le nom de sinus de Tangle solide OA'B'C donné à V est mal choisi. Il a été employé par M. Staudt, avec lequel M. Keogh s'est rencontré dans des recherches relatives aux polygones.
Afin, de Mathémat.y t. XVI. (Septembre 1857. > ^I
