CONSTRUCTION DE LA TANGENTE

On j^oint de contact d'ine droite atec soi eifeloppe poir certiiis lien

géottétrifies.

Applications à la déteriiiation dn centre de conrbire des ctiif les \

Par m. MANNHEIM.

1 . Soient Oi et Ot (^) deux circonférences &e coupant aux points c^f. Par le point c, menons une droite arbitraire qui coupe la circonférence o, au point a et la circonférence Os au point b ; sur ab , construisons un triangle abfi semblable à un triangle donné : le lieu décrit parle point d lorsque la droite ab tourne autour du point c, est une circonférence o^ passant par le point f (**).

2. Au point a menons la tangente T| à la circonférence Oi et au point b la tangente T^ à la circonférence 0|. Ti et T| se coupent au point /*, la circonférence ai& passe par le point/*. En menant au point d la tangente T» à la circonférence o^ , on obtiendra de même deux autres circonférences se coupant enf.

3. Dans le cas particulier où le point d est en di sur ab , de telle façon que -t4 = constante , le lieu des points

("*) On eet prié de faire la figure. U est commode de placer le poiDi i de façon que le point/ soit à Tintérieur du triangle abd.

C**) Je ne démontre pas ce théorème, que Ton énonce pluB complètement de la manière suivante :

Sur les di'oites teUes tjue ab on comiruii des figures semhlmhles à une fiifure donnée, les points homologues décrivent des circonjérences passant par le point J, les cotés homologues tournent autour de points fixes.

( 3^3 ) dj est la circonférence o* passant en c et en f (*)*

Obsen^ation» Nous conserverons toujours d pour le cas général et di pour le cas particulier,

4. T4 étant la tangente en di à la circonférence 04 , le point^est commun aux circonférences circonscrites aux quatre triangles déterminés par les droites Ti , Tt , T4 et ab.

Cette remarque permet de résoudre la question suivante :

5. Pour un moui^ement infiniment petit d'une droite ah, le point sl parcourt un élément d^ine droite T| , le point h un élément d*une droite Tt, le pointait qui partage ab dans un rapport constant , un élément d'une droite T* ; on demande autour de quel point la droite ab a tourné.

On détermine le point f en circonscrivant des circotiféiences aux quatre triangles formés par les droites Tj, Tt, T4 et ab) on décrit une circonférence passant par le point yet tangente en rf, à la droite T4 : celte circonférence coupe la droite ab au point cherché.

6. Revenons au cas général (1 ) . Au point a traçons une courbe quelconque L tangente à la circonférence Oi , au point b une couAe quelconque M tangente à Ot , au point c une courbe quelconque H tangente à ab. Lorsque la droite ab se meut en restant tangente à la courbe H, ses extrémités parcourant les courbes L, M, le sommet <f du triangle abd construit sur ab et semblable à un triangle

{*) Si l'on transforme eette proposition par la méthode été rayons vecteurs réciproques 'en prenant le point c pour pôle de transformation , on* retrouTS une proposition connue. Cette dernière proposition est un cas pariiciili$r de celle qui résulte de la transformation de (i), le point e étant toujours pris pour pôle de transformation.

donné, déciil une couibe N dont on obtient la tangente au point d de la manière suivante : Par le point de contact c de ab et de H, on décrit une circonférence Oi tangente à L au point a, et une circonférence 0| tangente à M au point i; o, coupe ad en e^ 0% coupe bd en g. Les quatre points rf, e ^/^ g sont sur une même circonférence Oj. On mène au point J la tangente Ts à cette circonférence et Ton a la tangente cherchée.

7. Réciproquement, connaissant Tj , on peut déterminer c en s* appuyant sur ce qu'on a dit plus haut (2).

8. Dans le cas particulier où Ton considère le point di (3), les points e, g se confondent en c, et Ton a la circonférence 04 passant par les points cjd pour déterminer la tangente T4 au lieu décrit par le point di (*).

9. Les circonférences Oi , Os et 04 passent par les mêmes deux points c , f.

Dans ces circonférences, les extrémités a'^ d^^ V des diamètres qui passent par les points a^di, b sont sur une droite ca! perpendiculaire à la droite acb -, on a d'après (3)

a' rf', adi

Les diamètres aa' ^ bV sont connus, puisque ce sont les normales aux courbes L, M. On déterminera le point ^1 , et , par suite , d d^ qui est normale à la courbe décrite par «?,(**).