PROBLÈME D ANALYSE INDÉTERMIKÉE , DE DIOPHANTE

(Livre V, page 33.)

Ce problème étant propre à donner une idée de l'esprît de la méthode de rilJustre Grec, nous allons, d'après Nesselmann, donner la traduction littérale du problème et de sa solution . L'énoncé du problème est en vers dans l'original.

' Deux sortes de yin , Vun h 8 dragmes la mesure» l'autre moins bon à

[5 dragmes seulement, Voilà le mélange que prépara un bon mailre pour ses serviteurs dans Ce qu'il a payé pour les sortes était un nombre carré. [ un festin . Si tu ajoutes encore Go & ce carré,

KegardOi tu auras un second carré ; maintenant remarque, La racine {de ce carré) te montre combien Tautre a acheté de me- Et maintenant dis-moi combien du meilleur vin« [ sures;

Et combien à 5 furent mêlés ensemble.

Le sens de cette épigramme est celui-ci : Quelqu'un a acheté deux tonneaux de vin •, de l'un la mesure coûte 8 dragmes et de l'autre 5 dragmes. Le prix qu'il paye pour le tout est un nombre carré, et si l'on y ajoute 6o , ce sera encore un carré dont la racine indique le nombre total des mesures. Combien y avait-il de mesures à 8 dragmes , combien à 5 dragmes?

Soit le nombre total de mesures x, alors le prix est jc' — 6o et x^ — 6o doit être un carré; il fait la racine égale à x moins un certain nombre ; mais x* — 6o est composé de deux nombres, et égal au prix du vin à 8 dragmes

et au prix du vin à 5 dragmes. Le ^ de celui-ci est le nombre des mesures à 5 dragmes et le - de celui-là est le

nombre des mesures à 8 dragmes \ mais comme le uon^bre des mesures de deux sortes doit èlre .r , il s'agit donc de

partager x^ — 60 en deux nombres, de manière que le^

de Tun et le - de l'autre fassent ensemble x. Cela n'est

possible qu'autant que x est plus grand que ^ de j:' — 60

et plus petit que ^ de x^ — 60 -, ainsi x* — 60 sera

plus grand que 5 a: et plus petit que 8x. Conrnne x* — 60 doit être plus grand que Sx, ajoutant de part et d'au* tre 60 , x^ doit être plus grand que 6x-+-6o: ainsi x' esj plus grand que 5x plus un nombre plus grand que 60; X sera donc plus grand ou du moins plus petit que 11. Ensuite comme x* — 60 est plus petit que Sx, si l'on ajoute des deux parts 60, alors x^ sera égal k Sx plus un nombre plus petit que 60 , d'où il suit que x ne peut surpasser 12. Mais il a été montré que x ne peut pas être moindre que 1 1 . Donc x sera plus grand que 1 1 et plus petit que 12. Mais si nous voulons rendre x* — 60 un carré, nous formons la racine de ce carré avec x moins un certain nombre et l'on obtient x en ajoutant 60 au carré de ce certain nombre et divisant la somme par le double de ce nombre (*). Nous devons donc chercher un nombre tel, que si l'on ajoute à son carré 60 et qu'on la somme par le double de ce nombre, le quotient doit être plus grand que 11 et plus petit que 12. Si l'on nomme

X (**) le nombre (herché, alors ; — doit être plus

(^; X- — ()o z^ {x — zy, x =

{**) Ne pas confondre cot x avec le précèdent. Diophante n'a qu'un seul sifjnc pour louto espôre d'inconnues, (^.et r est le :; do la note précédente.

grand que net plus petit que 1 2 5 soit d'abord ^^^j

alors j:* -h 60 > 22X. Ainsi 22X est égal à x' plus un nombre moindre que 60 , donc x ne peut être moindre

,2;' -4— QO

que 195 ensuite on doit avoir — <[ 12, donc

a:* + 60 <^ 24JÎ j ainsi 24 x est égal à x* plus un nombre plus grand que 60^ conséquemment, x doit être plus petit que 21, mais il doit en outre être plus grand que 19. Ainsi, si nous voulons rendre x* — 60 un carré, il

faut poser la racine égale kx — 20 ; de là on tire x = 1 1 -> a:* = i32 j; soustrayant 60 , il reste 72 j (*) : il faut donc décomposer 72 j en deux nombres tels, que le ^ du premier plus le 3 du second fassent ensemble 1 1 -• Supposons que le -p du premier soit x , alors le ^ du second

sera 11 x: les nombres eux-mêmes sont donc 5a: et

02 — Sx et leur somme doit être 727) donc a: = 22: ^ ' 4 12

ainsi le nombre des mesures à 5 dragmes est — et le

nombre des mesures à 8 dragmes — 5 le reste est évident.

Avec le symbolisme moderne la solution s'abrège, mais la logique reste la même. Il n'y a d'abréviation que dans l'écriture. Il fallait un génie transcendant pour découvrir cette logique sans le puissant auxiliaire du symbolisme.

(*) C'est le carré de — •

Uullclin mathématique, t. III. (Avril 1857.)

ÉIBLIOGR&PHIE.

Recueil d'exercices sur le calcul iNFiiriTésiMAL *, par M. F, Frenety ancien élève de l'Ecole Normale, professeur h la Faculté des Sciences de Lyon. Ouvrage destiné aux élèves de l'Ecole Polytechnique, à ceux de l'Ecole Normale et aux auditeurs des cours de mathématiques dans les Facultés des Sciences (*).

Je considère ce recueil comme un ouvrage des plus utiles et des mieux faits. Il contient, sous un volume restreint (220 pages), les solutions de plus de 5oo questions qui se rapportent aux différentes théories du Programme de la Licence es Sciences mathématiques. L'ouvrage se compose de trois parties, divisées chacune en deux sections. Dans la première section de chaque partie , on trouve les énoncés des questions à résoudre présentés daus un ordre méthodique; et dans la seconde, les solutions exposées d'une manière succincte, mais très-claire. Quant aux méthodes adoptées pour la résolution des questions principales, nous n'en dirons qu'un mot : c'est qu elles appartiennent à des géomètres dont les noms font autorité.

Cet ouvrage n'a pas été destiné aux candidats à l'Ecole Poly techiïique ; nous croyons toutefois pouvoir leur recommander les paragraphes relatifs aux dérii^ées de différents ordres, à la recherche des vraies valeurs, aux questions de maxima et de tninima, à la théorie des tangentes, des points singuliers , à la construction des courbes, G.

{*) Paris, Mallet-Bachclier, imprimeur-libraire de l'École impériale Polytechnique, du Bureau des Longitudes, quai des Âugustins , 55.