ARAIGNÉE PERTURBATRICE

D'après M. HANSTEEN,

Directeur de TobserTatoire de Christiania.

{Astr.Nach.f i856, n** 1020, p. 191.)

Le Bureau des Longitudes avait fait établir à l'Observatoire de Paris une boussole consacrée exclusivement aux variations diurnes de la déclinaison. Dans le courant de 1819, le barreau d'acier qui était suspendu à plat, éprouva, sans aucune cause apparente , un changemeut subit de direction 5 les variations diurnes se trouvèrent en même temps réduites presque au dixième de leur valeur primitive , tandis que T intensité magnétique s'était consi- * dérablemcnt accrue.

Le même fait , savoir une diminution subite dans la direclioii , les variations diurnes el dans le temps d'une oscillation, s'est aussi présenté une fois à Gauss dans l'observatoire magnétique de Gottingue et deux fois à M. Hansteen, à Christiania. Mais Gauss devina bientôt la cause. Une araignée s'était glissée dans la boite unijilaircy et, par un fil très-fin presque invisible, avait lié Textrémité de l'aiguille à la paroi dr la boite , ce qui changea subite-

(39 ) ment la position moyenne dePaiguille , de même que les mouvements diurnes et le temps d'une oscillation. Au lieu d'en déduire qu'un changement subit s'était produit dans le magnétisme terrestre et de là une augmentation dans le moment magnétique de l'aiguille, il se contenta d*ôter le couvercle, et faisant glisser un crayon le long des parois de la boite , l'aiguille reprit aussitôt sa position ordinaire , et les variations et la durée d'oscillation revinrent à leurs grandeurs précédentes.

M. Hansteen découvrit de même- le fil d'araignée qui avait produit les deux perturbations dans son observatoire. Le fil ôté,.tout fut rétabli, et le célèbre directeur crut qu'il est plus vraisemblable qu'une même cause ait produit le même effet dans la boussole d'Arago.

SUR LE GlRQllE NUliÉRlQUE DES PYTHAGORICIENS.

On sait que le carré d'un nombre entier est la somme de deux nombres triangulaires consécutifs. Le pythagoricien Jamblique énonce ainsi ce théorème (p. 107) dans l'ouvrage cité [Bulletin^ t. I, p. 186).

« L'unité est l'élément fondamental dans la génération » des carrés.... Pour engendrer un carré, on part origi- » nairement de l'unité comme de la barrière («ar^A>;y|), » en quelque sorte jusqu'à la borne [fcufivriç'j (*), côté » du carré à engendrer , et puis on retourne de nouveau )) vers elle (l'unité) comme vers un but (vutrT») , en tou- » chant tous les nombres et l'unité elle-même deux fois, » excepté la borne , côté du carré à engendrer, w

(*) Le verbe grec kï/atttw, je courbe, est l'origine de ces mots français : camuSf camard, cambrure, chambre, chambranle, concamération, caméricr, chambellan, camarade.

La figure suivante éclaireit cette course numérique.

Barrière . i ...?.... 3 .. 4 ••• ^ • .

'. 6. Bof'ne.

Buu .... i...2...3..4--^- •*

La somme de tous ces nombres est 36 carré de la borne.

Il représente ainsi sous forme de cirque le nombre loo carré de lo, puis aussi looo, en prenant lo pour barrière et pour but^ les nombres étant lo, 20, 3o, etc., et la borne est 100 , etc;

Le véritable cirque arithmétique qui est le fondement de toute continuité numérique est celui-ci :

Imaginons une circonférence de rayon infini. Inscrivons le chiffre zéro sur un point de cette circonférence 5 par ce point et le centre menons une droite et inscrivons l'infini (oo ) sur l'autre extrémité de ce diamètre. Concevons que sur la demi-circonférence à droite de ce diamètre on ait rangé toutes les quantités numériques possibles croissant par gradation de o à oo , et de même sur la demi-circonférence à gauclicj distinguons les quantités à droite par un signe quelconque , soit -{- , et les quantités à gauche par un autre signe, soit — \ un point parlant de zéro et se dirigeant vers -f- oo sera obligé de parcourir la demi-circonférence de — pour revenir à zéro, et l'on voit que H- 00 et — 00 désignent le même point; de même que -h o et — o : là est le principe de la continuité, et riiyperbole en fournit un exemple élémentaire. Soient A et A' les deux sommets, A le sommet à droite et A' le sommet à gauche; désignons par AB , A'C respectivement les demi-branches au-dessus de Taxe focal , et A^, A' c les demi-branches au-dessous; un point A partant de A et se dirigeant vers B décrira celte demi-branche, et arrivé à Texlrémité de cette longueur infinie, il sera aussi sur l'extrémité de la branche A c', et continuant son mou-

vement , il vient vers A' et de là vers rextrémité de A' C ^ il sera alors aussi à rextrémité de Ai, et , contÎDuant, il revient en A. L'équation polaire de la courbe, le centre pris pour pôle, fait parfaitement ressortir ce mouvement continu.

Il y a donc toujours deux chemins pour passer d'un nombre à un autre -, par exemple, pour passer de -h 2 à -+- I , on peut se diriger vers zéro , on peut aussi se diriger vers 00 et passer par cet infini et zéro pour arriver à 11 Jacobi fait souvent usage de ce dernier chemin pour conserver l'uniformité de direction. Soient, par exemple, les quatre nombres a , j3 , y , ^ rangés selon l'ordre ascendant; on va de a vers j3 , de P vers 7, de y vers d dans la même direction, et on conserve la même direction en allant de d à a en passant par Tinfini [Fundamenta , page II). Ceci explique aussi le mouvement du pojpt d'application de la résultante de deux forces parallèles -H P, — Q , où P, d'abord plus grand que Q, décroit sans cesse, passe par zéro et devient négatif, et beaucoup d'autres mouvements de va-et-vient du même genre.

BIBLIOGRAPHIE

Mélanges de Géométrie pure, comprenant diverses ap-*plicalions des théories exposées dans le Traité de Géo' métrie supérieure de M. Chasles, au mouvement infiniment petit d'un corps solide libre dans l'espace , aux sections coniques, aux courbes du tï^oisième ordre, etc. , et la traduction du Traité de Maclaurin sur les courbes du troisième ordre ^ par M. E . de Jonquières, lieutenant de vaisseau. Paris, i856^ chez Mallet-Bachelier^ in-8 de viii-26i pages, avec planches. Prix ; 5 francs.

M. de Jonquières est bien connu de nos lecteurs par

Bulletin mathématique, t. III. (Juin 1857.) ^

( 49 ) les excellents articles dont il a enrichi les Nouv^elles Annales, L'ouvrage dont nous allons rendre compte ne peut qu'ajouter à la réputation de l'auteur et contribuera, nous l'espérons , à répandre le goût de la géométrie moderne.

L' auteur débute par une préface modeste , trop modeste peut-être si l'exemple pouvait être contagieux. Nous ferons remarquer à M. de Jonquières que la science , et l'on doit s'en féliciter, n'est pas la propriété d'une corporation : elle n'est pas indispensablement attachée à un diplôme ou à une position officielle : Spiritus ubi vult spirat. D'ailleurs M. de Jonquières se charge de nous prouver qu'on peut être excellent marin et bon géomètre.

Comme l'indique son titre, Touvrage est une collection d'études sur différents sujets. Chaque chapitre forme comme un traité à part.

Le Chapitre /*'" (i-54) est consacré aux propriétés géométriques relati\^es au mouv^ement infiniment petit d'un corps. C'est le développement d'une théorie dont le programme seul a été donné par M. Chasles dans les Comptes rendus (26 juin i843).

Le mouvement infiniment petit d'une figure plane se réduit à une rotation du plan de la figure autour d'une droite de ce plan, pendant que cette droite tourne ellemême autour d'un point fixe sans sortir de la position primitive du plan, La droite se nomme caractéristique et le point fixe/bj'éjr. La trajectoire du foyer est perpendiculaire au plan primitif qui contient les trajectoires des différents points de la caractéristique. Une droite D étant considérée comme faisant partie d'un corps , il existe une seconde droite A sur laquelle se trouvent les foyers de tous les plans menés par la première, et réciproquement. Un cas intéressant est celui où l'une des deux droites conjuguées est à l'infini.

A l'aide de ces considérations et par les démonstrations

(43) ks plus simples, l'auteur parvient à ce théorème que le mouvement infiniment petit d*un corps se réduit à un mouvement de rotation autour d'un axe^ qui pendant cette rotation glisse sur lui-même^ ou, en d'autres termes, au moui^ement d'une vis dans son écrou. Le géomètre qui le premier a tracé cette belle image du mouvement, a pu dire avec un légîlînie orgueil : AncKio sono pittore.

De ces principes fond^^mentaux, Tauteur déduit toutes les propriétés, soit descriptives, soit métriques, relatives aux trajectoires des points d'un corps eu mouvement. Il rattache la théorie des (igures en mouvement à celle des figures corrélatives, et montre ensuite les analogies qui existent entre les rotations d'un corps autour de divers axes et les systèmes de forces. C'est le propre des bonnes théories de n'être point isolées dans leur objet et d'ouvrir à l'esprit des horizons nouveaux. Ajoutons que c'est la plus grande jouissance que procure leur étude.

Le Chapitre II (55 -112) est relatif ai^.r arc5 d'une section conique dont la différence est rectifiable et aux propriétés des arcs égaux de la lemniscate. Les théorèmes qu'on y rencontre ont été énoncés sans démonstration par M. Chasles«

L'auteur nomme associés les arcs dont la différence est rectifiable , dénomination que l'on doit préférer à celle d'arcs semblables. Il commence par démontrer ce théo* rème :

1^. Quand deux arcs d'une section conique sont as^ sociésy les sommets de leurs angles circonscrits sont situés sur une seconde conique décrite des mêmes foyers que la première; 7? et la différence des deux arcs est égale à la somme des côtés de V angle circonscrit au premier, moins la somme des côtés de V angle circonscrit au second.

Le raisonnement de M. de Jonquières , en ce qui concerne la première partie de cet énoncé, ne nous a pas paru à l'abri de toute objection. L'auteur montre que si le tbéorème n'avait pas lieu, on pourrait rectifier un arc elliptique, ce que. l'on sait être impossible» Nous ferons remarquer que. si la rectification indéfinie de l'ellipse est impossible, c'est-à-dire sî l'on ne peut exprimer une intégrale elliptique de deuxième espèce en fonction explicite de l'amplitude ou du module, à l'aide des seuls signes algébriques, exponentiels et logarithmiques (*), il n'en est pas de même de la rectification d'un arc déterminé; car l'impossibilité d'intégrer en général une fonction n'empêche pas qu'on puisse l'intégrer entre certaines limites particulières.

Quoi qu'il en soit, si l'on se contente de dire que les arcs assujettis aux conditions indiquées plus haut ont leur différence rectifiable , il reste encore un fort beau théorème que l'analyse transcendante avait seule abordé, mais en le présentant sous une forme moins simple et moins élégante. La méthode purement géométrique, appliquée à cet ordre de questions, présente des avantages incontestables. « Elle est la même pour les trois courbes qui exigent, en analyse, des formules et des calculs différents; elle fait connaître des relations immédiates et fort simples entre les arcs comparés, relations restées inaperçues jusqu'ici : elle conduit à diverses propriétés de ces arcs, d'autant plus curieuses, qu'il y entre des relations de périmètres et des conditions de maximum et de minimum, qu'on sait être presque toujours difficiles à traiter, même par l'analyse; enfin cette marche synthé-

(*) Voir Journal de Mathématiques paies et appliquées, t. V, p. 44'- M. Liouville est , je crois, le premier et le seul qui ait démontré ce théorème.

tique a encore ici un avantage particulier, c'est qu'elle s'applique aux coniques sphériques , sujet d'un ordre plus relevé sous le point de vue analytique » (*).

On peut donc considérer la théorie actuelle comme une conquête de la géométrie sur l'analyse , heureuse conquête qui n'appauvrit pas l'analyse et qui enrichit la science.

Le Chapitre III (ii3-i52) a pour objet la généralisation des propriétés des foyers et des diamètres conjugua des sections coniques.

La première généralisation a pour principe le théorème suivant :

Etant donnée une conique A et étant pris un point fixe S dans son plan , on peut mener par ce point , d'une infinité de manières, deux droites telles, que le pôle de l'une soit sur l'autre. Ces deux droites sont toujours en direction deux diamètres conjugués d'une certaine conique Z qui est relative au point S , qui change de forme quand on passe à un autre point et qui devient un cercle quand le point S est un des foyers. Au point S correspond un second point S' situé sur le même diamètre de la courbe A, mais de l'autre côté et à égale distance du centre, et la conique 2 est aussi relative à ce point.

Les points S et S' sont désignés sous le nom de foyers de la conique A relatifs à la conique S.

De là résulte une théorie générale dont celle des foyers proprement dits n'est plus qu'un cas particulier, et par théorie il faut entendre non-seulement l'ensemble des théorèmes relatifs aux foyers proprement dits, mais encore les propositions non moins nombreuses qui se rapportent aux coniques homofocales.

Le défaut d'espace nous oblige à indiquer seulement Tobjel des autres chapitres.

(*) Comptes r^rnduSf t. WII, p. 83t).

Le Chapitre IV (152-196) traite du principe de correspondance anharmonique et de ses applications aux courbes du deuxième, troisième et quatrième ordre.

Le Chapitre V (197-261) est consacré tout entier à la traduction du Traité de Maclaurin sur les courbes du troisième ordre. Cette traduction fidèle et élégante est accompagnée de notes qui ne laissent rien à désirer pour l'intelligence du texte.

En résumé, M. de Jonquières a fait un livre excellent. Nous le recommandons vivement à nos collègues et aux élèves intelligents qui , par une curiosité bien naturelle à leur âge, veulent savoir s'il y a quelque chose au delà des Programmes. Au delà , en effet , il y a tout un monde, et ce que nous avons de mieux à faire, ne pouvant les y conduire, c'est de leur indiquer un bon guide.

E. Prouhet.