n outre plus de 120 lettres adressées en

grande partie à des savants ou émanées d'eux 1 20

» En même temps sa correspondance avec Bousquet au sujet de Tédition des œuvres complètes de Jean Bernoulli^ enfin divers écrits académiques ( feycrlischen reden ) non encore imprimés et qui contiennent des sujets dignes d'être lus. La plupart de ces lettres sont accompagnées des réponses de BernouUi^ dont la majeure partie a une certaine étendue et va au fond des choses ( lang und grundlich).

» Si Ton trouvait un éditeur disposé à publier cette précieuse et intéressante collection d'un des plus grands hommes en son genre, on la céderait à des conditions raisonnables. Le titre pourrait être : Lettres relatwes à V histoire des sciences mathématiques. »

U parait qu'aucun éditeur n'a voulu entreprendre la publication de cette collection dont le possesseur ne se nomme pas et dont il n'est pas question dans le corps du journal. Cette annonce doit être fort peu connue, puisqu'elle se trouve sur une couverture qu'on enlève ordinairement quand on fait relier l'ouvrage, à moins qu'on ne soit un bibliophile zélé et désireux de ne rien perdre.

{*) Varignon légua tous ses papiers àFontenelle, qui annonce dans reloge de son ami (Uistone de VAcadémie, 1722, p. i/|6) la publication prochaine de sa Hécanitfue et de sa Correspondance; jnais la Mécanique seule a paru .

Parmi toutes ces lettres, il n'y en a qu'une douzaine, écrites par Bernoulli à Euler, qui aient été publiées. On les trouve dans la Correspondance physique et niathémaUque de quelques géomètres célèbres du xviii® siècle^ recueillie par P.-H. Fuss. Saint-Pétersbourg, i843. Les lettres d'Euler à Bernoulli manquent dans cet ouvrage et devaient se trouver dans la collection citée plus haut.

La correspondance de Bernoulli et de Leibuitz, qui n'est pas comprise dans la liste ci-dessus , se compose de 275 lettres et a déjà été publiée deux fois :

1**. Sous ce titre : Virorum celeberrimorum Got.-Gul, Leibnitii et Johan, Bernoullii Commercium philosophie cumetmathematicum, Lausanuaeet Genevse, 174S. 2 vol. in.4°.

2**. Dans les Leibnizens mathematische Schriften, herausgegeben von Gerbardt. Band ID, pages 11 1-974. Halle, i855-i856 5in-8.

Cette dernière publication est la plus complète, car elle renferme environ 5o lettres inédites et de nombreux passages que les premiers éditeurs avaient supprimés par un sentiment de convenance et probablement sur la recommandation expresse de Bernoulli . Les passages rétablis dans la nouvelle édition n'intéressent guère la science elle-même , mais ils font connaître de plus en plus l'esprit caustique et le caractère ombrageux de Jean Bernoulli. Les citations suivantes en donneront une idée (*).

Bernoulli loue ce bon Varignon, qui généralisait si bien ses théorèmes et ceux de Leibnitz , mais ce n'est pas sans lancer quelque sanglante épigramme contre le peuple français.

<i Laudo hujus viri raraui modestiam; [non certe Gallum diceres, adeo aliénas est a nationis ingenita féro-

ce) Beruoulli avait conscience de sou immense supériorité et avait le tort de s'en exprimer trop ouvertement et d'une manière blessante. Tu.

citate et fastu : odit ipse vanitatem suorum popularium , qui supemliose super extraneos se attollunt, noslra contra invîdos slrenue défendit (*)]. » (Page 48 1.)

Les Italiens sont moins fiers, à ce qu'il parait, mais ils s'abusent sur l'originalité de leurs inventions.

« Rémi tto , ut jubés , epistolam D"* Zendrini. Ex ea video, ut et Riccatum [aliosque quosdam Italos velle agere simias noslras, non tamen agnoscere nisi] nostra tantum imitari. » (Page 946.)

Quant aux Anglais, Beruoulli les déteste cordialement et ne laisse échapper aucune occasion de leur dire quelque bonne vérité.

« [Hi non disputant ut veritatem tueantur, sed quia de nationis gloria agi putant, quando vident magistrum suum, in cujus verbi jurarunt, in discrimine causse si vc bonœ, sive malœ (hoc non attendunt) versari].» (Page 966.)

Bernoulli ne dédaigne pas le jeu de mots, quand il s'agii de dire une méchanceté.

ic Vidi Muysi Elementa Physices et perlustravi : [tumidus est titulus et multa promittens, sed de quo vcre dici potest : Parturiuut montes , nascetur ridiculus mus. Cujus itaque nomen et omen habet auctor].» (Page 892.)

De plus tristes pages sont celles où la haine de Jean Bernoulli se répand en amères récriminations contre son frère. La passion l'entraîne alors dans des exagérations incroyables. Ainsi il assure hardiment [audacter) que sans lui son frère Jacques n'aurait peut-être pas dépassé les éléments.

« [Nam licet explicatorcm sex priorum Elementorum Euclideorum jam ante decennium habuerim fratrem vel poilus instîgatorcm, audacter asseverare possum illum forsan absque meo adniiniculo commun! s geomelrise po*

(*) Les passages renfermés entre crochets [ ] sont rcmplncés par des points dans l'ancienne édition.

mœria nunquam praetergressum fuisse.] » (Page i63.)

Néanmoins BeruoulU n'oublie pas les ^ards que Ton doit à un frère aine.

a [Haec tibi dico saltem ut videas illum niillaia me persequendi rationem habere. Quod quidem pi;J>ljce ostendere deberam, sed fratemitatis leges melius observo et primogemturœ aliquid defero.^ » (Page i63.)

II est à regretter que M. Gerbardt n'ait pas distingue par un signe typographique les additions faites à Fancieii texte, ce qui aurait permis d'apprécier d'un coup d'œil le nombre et la valeur des documents nouveaux dont sa publication enrichit l'histoire scientifique. Il aurail du, ce me semble , conserver les sommaires- eC la table des matières de l'ancienne édition, appendices sans lesquels toute recherche est impossible. Malgré ces critiques ^ qui ne portent que sur la forme, nous recommandons à tous les amis des sciences l'utile entreprise de MM. Gerhardt et H. Pertz. Peut-être faut-il attribuer au peu d'encouragement qu'ont reçu les éditeurs la lenteur avec laquelle marche la publication des OEuvres complètes de Leiblîitz , qui, commencée en 1842, n'est pas encore terminée en 1857. L'honneur de notre époque, et particulièrement de deux nations, est intéressé à ce qu'un pareil monument ne reste pas inachevé.

Note du Rédacteur, Il est à remarquer que les hommes les plus occupés, qui ont publié les ouvrages les plus nombreux, les plus volumineux, sont aussi ceux qui se sont montrés les correspondants les plus actifs , répondant toujours aux lettres qu'on leur écrivait sur des points scientifiques ou littéraires. Il suffit de citer Leibnitz et Voltaire. Le manque de temps est un prétexte banal, le plus souvent mensonger, servant de manteau soit à la paresse, soit à un orgueil ridicule, apanage ordinaire de Ja médiocrité.

BiBLiOGRAPHiË

TaFELN DER QUADRAT UND KUBIK-ZAHLEN aller WATtRLI-

CHEN zAHLEN BIS HuisDERT tausend , iiebst ihrer anwendung auf die zerlegung grosser Zahlen in ilire faktoren nacli eîner neuen méthode berechnel^ von D' Jacçh Philipp Kulik, — Tables des carrés et des cubes de tous les nombres naturels jusqu'à loo ooo , avec l'application à la décomposition des grands nombres en facteurs, calculées par une nouvelle méthode; par Jacques-Philippe Kulik, professeur ordinaire de mathématiques à l'université de Prague. Leipzig, 1848; in-8 de vii-460 pages. Prix : 3 florins.

Chaque page contient aSo nombres avec leurs carrés et leurs cubes, distribués en cinq progressions arithmétiques de 5o nombres consécutifs chacune. Nous donnons pour exemple l' en-tête et les trois premières lignes de la page 56.

82 aSoo 460^7 ^^<^ 82 5201 6584 655i 82 7904 71 32 62o3

liulletin maihématique , t. lll. (Novomhrc 1857.)

I ** progression . 1 35o , 1 35 1 , 1 352 , . . . , 1 399,

7,^ » Il 35o , 1 1 35 1 , . . . , II 399,

N désigne la colonne des nombres , N' la colonne des carrés et N' celle des cubes; le carré de i35o est iSssSoo et le cbîffre 1 est le premier chiffre à droite de tous les nombres de cette colonne; ainsi

Il en est de même pour les cbifires 2 , 12, i4* Les chiffres séparés 25oo terminent tous les carrés de cette ligne ; de même pour les cubes.

Ainsi

(ii35i)*= 1 28845201,

(ii35o)^ = 1462 135375000,

L'auteur nomme Létc les chiffres que les nombres dans la môme progression ont en commun à gauche : ainsi les nombres i, 2 , 12, i4 sont des têtes ; et il nomme pied les chiffres à droite qui ont en commun les nombres de la progression dont la raison est loooo : ainsi 25oo, 6201 , 7904, 5ooo, 655 1, etc., sont des pieds. Les chiffres du milieu sont le corps: ainsi 82 , ^Goi'j , 882 , etc., sont des corps. 11 arrive quelquefois que dans une progression par unités , la télé doit être augmentée de i ; un astérisque * indi(jue cette augmentation. Très-rarement cette augmen-

talion monte à 2 , et c'est un trait I qui indique cette augmentation. La page suivante, 57, contient les progressions commençant par 5i3, 6i3, 7i3, 8i3, 9^3 , et doit être regardée comme ne formant qu'une seule page avec la précédente. On voit comment, par ce procédé ingénieux, on a pu inscrire cent mille nombres avec leurs carrés et leurs cubes sur 400 pages in-8 renfermant un million et demi de chiffres.

M. Caillet a eu la même idée en 1848 (Nouvelles Annales y t. xin, p. 4^5).

Il est évident qu'on peut, au moyen de cette Table, trouver les carrés et les cubes des nombres renfermés dans la formule a. 10" +5, pourvu que a et J aient moins de six chiffres; mais il faut faire le produit 2 ab et Zah [a-\-b)'^ d'ailleurs

On voit aussi qu'elle peut servir à extraire les racines carrées et cubiques.

L'ouvrage contient en outre onze Tables auxiliaires ;

la onzième donne les multiples de ti et de - depuis i à

1 00 \ avec 3o décimales pour 7t et avec 1 2 pour —

Les dix autres Tables servent à décomposer un grand nombre en deux facteurs , lorsque cela est possible.

La Table II contient la décomposition en deux carrés de tous les nombres premiers de forme 4^^ + 1 depuis 5 jusqu'à 10529.

On trouve une semblable Table dans le Journal de Crelle (t. XXX , p. 174) étendue jusqu'à 1 1981 ; mais les nombres 197, 901, 2713, 49^3, 6997 y manquent.

Au moyen de cette Table, tout nombre qui est le pro-

(luil (le uouibres pi eiiiiers de forme 4'* -f- 1 peat èlre décomposé en somme et en dlfTérence de deux carrés par les théorèmes connus , pourvu que ces facteurs soient contenus d^s cette Table.

La Table III donne les nombres impairs de 7 à 1 2097 qui sont la différence de deux cubes : N = x^ — y^.

La Table IV donne les nombres compris entre 9 et 18907 qui sont la somme de deux cubes» N = x' +jr'> avec les valeurs de a: et de j-.

Tous les carrés possibles n'ont que io44 terminaisons^ en prenant pour terminaison les quatre premiers chiffres à droite,

La Table X donne toutes ces terminaisons avec le plus petit carré correspondant. Exemple :

TermiDaisons.

Carrés.

00 og

Une terminaison quadratique est dite congruenle a^Witi^e à un nombre N , lorsqu'en ajoutant cette terminaison aux quatre premiers chiffres à droite de N, on a encore une terminaison quadratique -, la congruence est soustractive lorsqu'il faut retrancher.

Exemple, Soit

les terminaisons 0100, 0900, 2100, 25oo, etc., sont congruentes additives^ car 434i -h 0100 = 444^ ^}^^ ^st encore une terminaison quadratique.

Le Tables V, VI, VII, VIII, IX sont destinées à trouver ces terminaisons congruentes à une terminaison d'un nombre donné JN' .

On comprend l'utilité immense de ces Tables pour

( 85 ) trouver les solulions deréquation

et par conséquenl les facteurs de N^ soit

Les terminaisons additives congruentes à 7791 sont

Les nombres astérisques sont des carrés \ si on les ajoute successivement à N , on trouve des nombres N qui commencent tous à gauche par 223 et qui ont des terminaisons quadratiques; le nombre 0225 ajouté à N donne un

carré

2237791 -f- 0225 = 2238016 = (1496)% donc

Euler, ayant rencontré ce noïàbre N, déclare qu'il serait pénible de rechercher s'il est premier ou non (iV. Comm, A, S, Petropy t. IX, p. 17).

Soit

Par un procédé analogue , l'auteur trouve

Gauss parvient à la même décomposition par la théorie des résidus quadratiques [Disq, arith,, p. 58 1).

Dans une note , Gauss dit avoir calculé une Table pour faciliter ces décompositions et exprime l'intention de publier celte Table si on le désire. A-t-elle été publiée?

Les Tables VIIl, IX sont relatives aux terminaisons rougrueutes soustraclives, el servent à découvrir si les

(86) nombres de la forme 4 '^ + i sont des sommes de la forme x^ "hj^ 'f lorsqu'on n'a qu'une solution 5 le nombre est premier 5 lorsqu'on en a deux , il n'est pas premier, et on le décompose de cette manière.

Soit

on a

A=zpr — qsy C = pr + qs ,

'!& :=z ps -\- qr y J)=:ps — qry

az=p^-^q\ bmr^-i-s^y

A-HC = 2/?r, B — D = 2qr;

le facteur commun à A+CetB + D fait connaître p et de là r et 5.

le facteur commun 2^ donne la valeur de q.

Exemple :

on trouve l'unique solution

Ainsi N est un nombre premier. C'est le plus grand nombre premier connu (*) . Pour le démontrer, Legendre remplit trois pages in-4 de calculs assez pénibles [Théorie des nombres, 3^ édît.) -, M. Kulik n'a besoin que d'une demi-page in-8.

Nous croyons avoir fait ressortir les services rendus par le savant professeur de Prague.

(*) M. Lebesgiie me fait observer que depuis la publication des Mémoires d'Euler de 1778, on connaît des nombres premiers plus grands, i^nlre autres iiSG^iooi), itS5i88o() [ Commenta tiones ai ithnieticiv collecta!^ Pclersb., 18/19).

SDR LE COHPAS DB PROPORTION.

L'invention de cet instrument, qui entrait jadis dans tous les étuis de mathématiques , est consignée dans Fouvrage suivant :

Le operazioni del compassé geometrico e militare di Galileo^ stampata in Padoua, par Pietro Marinelli. i6o6. In-fol.

Tiré à 60 exemplaires , cet ouvrage est d'une extrême rareté. Il est réimprimé dans les OEui^res de Galilée, publiées à Bologne en 1 65 5, en tète du premier volume. On donne à Galilée le titre de noble florentin, professeur de mathématiques au collège de Padoue. La dédicace à Cosme de Médicis, prince de Toscane, porte la date de juillet 1606.

Bientôt après , un noble milanais nommé Capra publia un opuscule latin où il s'attribue l'invention du compas. Voici le titre.

Usas et fabrîca circini cujusdam proporiionis per guam omnia fere tum Euclidis tum mathematicorum omnium prohlemata facili hegotio resolpentury opère et studio Balthazaris Caprœ, nohilis Mediolanensis explicata. Patav., 1607; in-4 de 60 7 pages (*).

Galilée déféra cet ouvrage au tribunal des réformateurs du collège de Padoue , siégeant à Venise. Il obtint gain de cause. La sentence porte que Capra est convaincu de plagiat et d'ignorance et que son ouvrage doit être confisqué. On en avait tiré 483 exemplaires : 44^ furent

(") Dans Vouvrage de Capra un professeur napolitain adresse des éloges à Caipra; cW probablement ce qui a fait dire erronément à Montuda que Capra est Napolitain.

saisis chez Fimprimeur, i3 chez TaïUeur , mais 3o étaient déjà distribués eïi divers pays d'Europe ; de là aussi Fextréme rareté de cet opuscule. Pour remédier h ce commencement de publicité , Galilée crut nécessaire de faire paraître une défense :

Difesa contra le calumnie e imposture di Baidassare Capra Milanese, Usetegli si nella considerazioni astronomica sopra la nuot^a Stella del MDCVUII corne [e assaipiu) nelpublicar nuova^nente corne sua invenzioni lafahrica et gli usi del compasso geometrico e milàare sotio in titolo di Usas etfabrica (comme ci-dessus). Padova, 1607.

Galilée réfute d'abord un autre écrit de Capra où il prétendait que Galilée devait la découverte de la célèbre étoile de 1607 à un nommé Coznaro. Après avoir montré la fausseté de cette allégation, il dit avoir fait construire, il y a cinq ou six ans , une centaine de ses compas à Padoue 9 qu'il en avait montré Tusage au père de Capra et à Capra lui- même. Il rappelle un grand nombre de passages de l'écrit de Capra qui ne sont qu'une traduction littérale de Le operazioni del compasso^ etc. Il montre que ce Capra est un ignorant , qui , ayant peu d* affection pour lui , s'est rendu l'instrument d'un de ses plus acharnés adversaires, qu'il ne nomme pas et sur lequel il s'exprime avec beaucoup d'animosité. Il le déclare Vennemi du genre humain.

On a composé beaucoup d'ouvrages sur le compas de Galilée*, Kastner en donne la liste dans son Histoire des Mathématiques^ t. UI, p. 336. Cet instrument, tombé en désuétude, était autrefois aussi répandu, aussi préconisé que de nos jours la règle de Gunther.

Burgi , le célèbre co-inventeur des logarithmes, a construit avant Galilée un compas, mais qui n*a rien de commun avec celui de l'illustre Pisan.