II II

( solutions de Diophante) .

Toute autre valeur rationnelle de w, entre des limites données , conduira à une solution : il y en a donc une infinité.

Cette solution ne suppose rien qui ne se trouve déjà dans Euclide. Diophante aurait pu donner une solution complète s'il avait vu que la résolution des équations du deuxième degré est dans Euclide. U s'ensuit que les limites à calculer pour que les solutions soient en nombres positifs pouvaient être déterminées ainsi que je Tai fait plus haut.

DALRYNPLE (Alexander).

Le Dépôt des cartes , plans et journaux de la marine, à Paris 5 possède Touvrage suivant : General introduction to tlie Charts and Memoirs puhhshed by Dalrymple. Humanum est errare, Virg, Originaly printed in 1772. Second édition. Loudon, by George Bigg; 1786. Grand in-4.

C^est une collection de huit Mémoires. La pagination recommence pour chaque Mémoire. Tous ces Mémoires, à l'exception du premier, roulent sur la description des côtes de la Chine , d'après des voyages entrepris par divers bâtiments. Ce sont des journaux marins de voyage. Les cartes n'y sont pas.

Le premier Mémoire est : Essay on nautical sur%^eying by Daîfyniple, originaly publislied in 1771. Second édition. London, 1786.

Essai sur le relèvement nautique « ao pages et i pi. Cette seconde édition est publiée par Fauteur, qui dit avoir fait quelques légers changements. La méthode de relèvement par la théorie des segments capables est ex~ pliquée (p* 7) sans aucune citation. On donne une con* struction géométrique, d'après le R. M. Michell, ami de Dalrymple.

Les Mémoires sur les côtes de la Chine doivent être très-utiles dans les circonstances actuelles.

Sur le dos du livre, on lit : Nautical Memoirs and Journal Dalrymple, Vol. IV. C'est probablement lé quatrième volume d'une collection de journaux de voyages maritimes.

HuUctin maihémaii()U€, t. 111. (Septembre iSS;.) 9

Le nom de Dalrymple le marin ne se trouve pas dans la Biographie Michaud.

BIBLIOGRAPHIE

Eléments de Géométrie conformes aux Programmes de renseignement scientifique dans les lycées ^ par Ch, Briot, professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis, et Ch. Vacquant, professeur adjoint de mathématiques spéciales au Lycée Bonaparte. Application , 2® et 3® parties ; Géométrie descriptive et Nivellement, à Fusage des classes de Seconde, de Rhétorique et de Mathématiques spéciales; de la page 107 à la page 3499 pi* in à IX, 91 figures dans le texte. Paris, in-8 \ i856.

Permettez- moi, mon cher Rédacteur, de signaler le progrès qui se manifeste d'une manière évidente dans l'enseignement élémentaire de la géométrie descriptive.

Que de fois vous m'avez entendu dire et que de fois j'ai écrit : Quand donc commencera-t-on le dessin des projections avec le cinquième livre de la géométrie, et par la projection cotée, si simple, si élémentaire, si naturelle? Eh bien, nous y arrivons. Jugez-en.

C'est en 1823 que le capitaine du génie Noizet publiait, dans le n° 6 du Mémorial de V officier du génie, son Mémoire sur la géométrie appliquée au dessin de lajbrlification, où se trouve exposée avec toute la clarté désirable la méthode des plans cotés que cet officier euseignait avec distinction à l'Ecole d'Application de l'Artillerie et du Génie. Le titre technique de ce Mémoire, la dénomination de plans cotés ^ et surtout la publicité restreinte d'une impression officielle, telles sont les causes du peu d'atten-

(67) tîon qu'on a apportée, en dehors du corps du Génie, à cet important travail. Ce n'est même , chose surprenante, que dix ans après, en i833 , et sur les demandes réitérées de TEcole de Metz , que les plans cotés sont entrés dans le programme de géométrie descriptive de l'E^cole Polytechnique (*). Où les y trouve-t-on? Dans les applications, avec les ombres, la perspective et la stéréotomie, quand au contraire on aurait dû mettre cette méthode de projection au commencement du cours. Quelle part lui fai^ sait-on? Celle d'une leçon et d'une épure. Et l'épure était tellement insignifiante par elle-même et à cause de sa place reculée, la dix-neuvième dans la série des exercices , que les élèves n'ont jamais eu la moindre considération pour une méthode qu'ils ne pouvaient pas apprécier, faute de la connaître. Les conséquences de cet éta! de choses, qui a duré vingt ans, se sont étendues plus loin qu'il n'apparaît au premier abord.

En 1837, après plusieurs années d'essais faits à l'Ecole d'artillerie de Metz et aux Cours industriels gratuits de cette ville, je lithographiais la Représentation des corps solides à Vaide d\in seul plan de projection et de cotes de distance^ production très-imparfaite, improvisée dans des circonstances de service pressantes, dont vous vous souvenez sans doute. Aussi ai-je mis de côté tout amourpropre d'auteur et cédé au seul désir d'être utile , en consentant à laisser cette autographie se répandre. J'espérais faire uailrc chez quelqu'un de mes honorables collègues de l'enseignement l'idée de reprendre ma voie , et de faire mieux que moi. Soin inutile !

(*) Pragiamme pour l'année scolaire i83j-i833,p. 18. « Notions sur la » manière de représenter les surfaces par le moyen d'un seul plan de pro- » jecUon. — 19*^ épure. Problèmes divers à résoudre au moyen de ce » procédé. « Ces problèmes n'allaicnl pas au delà delà ligne droite et du plan.

En 18499 M. le général Noizet , alors membre du Conseil de Perfectionnement de TEcole Polytechnique et d'nne Commission chargée de revoir renseignement des arts graphiques , me demanda quelques notes où je retrouve les réflexions suivantes : a II n'y a pas de mesure » qu'on n'ait tentée à l'Ecole Polytechnique pour donner » de l'intérêt au dessin topographique f les programmes » de renseignement et les procès- verbaux des conseils en )> font foi. Encore aujourd'hui , malgré les améliorations » réelles que le colonel Leblanc y a introduites, ce genre » de dessin , si utile et si attrayant par lui-même , n'est » pour les élèves que l'occasion de quelques exercices » qu'ils abaissent sous la misérable désignation de topOy » mot d^argot qu'il est désirable de voir disparaître de » l'Ecole. On ne relèvera le dessin topographique du dîs- » crédit où il est, qu'en prenant pour base de son ensei- » gnement la projection cotée , à laquelle un nombre » suffisant de leçons serait consacré. Alors seulement les )) élèves accorderont à ce travail la considération qu'il » mérite, et le résultat utile de leurs exercices sera dé- » cuplé. Mais surtout que l'on remplace rinsignifiaiite » épure 19 par quelques autres questions faciles à trou- » ver! En tout cas , c'est au commencement du cours et » non dans les applications que les plans cotés devraient » être. Je vais plus loin : leur vraie place est dans le » Programme d'admission , etc.

» Mieux que personne, vous reconnaîtrez que le sys- » tème des doubles projections rectangulaires est l'objet » trop exclusif des leçons de géométrie descriptive à l'E- )) cole. Son importance est grande sans doute , puisqu'il » est la base du dessin architectural et du dessin des ma- » chines^ et, en général > de la représentation de tout ob- » jet qui a des dimensions plus ou moins considérables » dans le sens liorizonlal et dans le sens vertical. Mais

(69) » le« bâtiments et les machines ne sont pas les seuls tra- » vaux d^art que les ingénieurs aient à projeter, repré- » senter et exécuter. Il est d^autres objets, tels que les n canaux , les roules, les chemins de fer, les fortifications, » les formes du terrain, etc., qui, ayant un très -grand )) développement dans le sens ' horizontal , sous de très- » faibles dimensions dans le sens vertical^ ne peuvent » plus être représentés par des combinaisons de plans et D à!éléi>ationSy mais seulement à Taide de plans sur les- » quels le relief est indiqué par des cotes convenablement » disposées.... »

n ne fut pas donné à l'auteur de la méthode des plans cotés d'attacher, enfin, à son nom la célébrité qu'il aura un jour en dehors du corps du Génie.

Je ne parle que pour mémoire de ce que j'ai tenté dans les années i85o et i8i>i, lorsque je remplaçais le colonel Leblanc appelé au siège de Rome. Je me suis servi des explications que j'étais autorisé à donner en commun aux élèves réunis à l'amphithéâtre pour faire apparaître la projection cotée en topographie.

Nous voici en i852. Tout étant mis en question par la Commission mixte chargée de la ré\^ision des Programmes d* admission aux Écoles du gouuarnement et de l* enseignement scientifique des Lycées , j*en profitai pour adresser des Notes à M. le Président de cette Commission, ainsi qu'à M. le général Noizet et à M. Bonimart, alors directeur des études à l'Ecole Polytechnique, l'un et l'autre membres de la Commission. « Je suis na- » turellement conduit, disais-je à M. le Président, à » vous parler du dessin des projections qui manque dans » l'enseignement primaire des sciences, bien que l'expé- » rience ait prouvé surabondamment que les ouvriers, » liommes intelligents mais peu exercés aux spéculations » dercsprit, y réussissent parfaitement. Pourquoi donc

» les lycées sont -ils eu relard sur ce point? Cela tient à » ce que l'on croit les éléments de la géométrie descriptive » plus difficiles qu'ils ne le sont réellement, et que l'on » regarde à tort comme inhérentes à la matière de l'en- » seignement des difficultés qui ne viennent que de la mé- » thode que l'on suit. Je voudrais pouvoir dire à mes » collègues des lycées :

» Placez les premiers éléments du dessin à la règle et )> au compas dans la géométrie des deux dimensions, et » non dans le dessin des projections.

» Parlez de projections dès le cinquième livre de la » Géométrie, en aidant les élèves par quelques exercices » sur l'usage du fil à plomb et du niveau d'eau.

» Renoncez à mettre au début les élèves en présence » de deux plans de projection, c'est-à-dire d'une dualité » dont la conception entraine des idées de rabattement et » de relèvement d'une difficulté réelle, que tous vous avez » constatée 5 difficulté encore augmentée par la considé- » ration des changements de plans dont on a voulu faire » une méthode au lieu d'un simple artifice graphique, » connu et pratiqué depuis longtemps, même avant la » Géométrie descriptive de Monge. Commencez plutôt » par la méthode d'un seul plan de projection et de cotes » de distance , par la projection cotée ^ avec laquelle les » élèves parviennent très-promptement à écrire leurs » combinaisons sur la grandeur figurée , à composer, en » un mot, presque avec la rapidité de la pensée...,

» Renoncez à faire reproduire aux élèves les épures » gravées des auteurs et obligez-les de bonne heure à » travailler sur des programmes individuels, travail qui » seul peut leur donner de l'initiative, les rendre sûrs » d'eux-mêmes rt les amener finalement à lire facilement » dans l'espace.

» Cessez de les ariêler à des questions purement abs-

( 7' ) ^ » traites , telles que la distance d'un point à une droite » ou à un plan , de la dislance de deux droites, de Tangle » de deux plans, etc., questions fondamentales qu'on » peut comparer avec raison aux quatre règles de F Arith- » métique, et qu'il suflSt de traiter au tableau avec de la » craie ou sur le papier avec le crayon. Qu'on leur de- » mande plutôt d'imaginer une forme, un solide défini, » une pyramide, je suppose, de la représenter et d'exé- » cuter sur elle diverses opérations empruntées aux com- » binaisons de la ligne droite et du plan : par exemple, » delà tronquer- suivant certaines conditions, d'en me- » surer les dimensions et d'en calculer le volume , d'en » développer la surface et de construire l'angle qui me- » sure l'inclinaison de deux faces adjacentes, etc. A ce » propos, on leur expliquerait sommairement la possi- » bilité d'exécuter, avec les résultats ainsi obtenus, le » solide qu'ils ont imaginé et représenté , de l'exécuter en » papier d'abord, puis en matière solide (plâtre, cire, )) terre glaise, etc. ).

» Signalez enfin aux élèves le triple objet de la géo- » métrie descriptive , qui est de concevoir une forme » géométrique, de la représenter d'après les procédés du )) dessin des projections et d'en déduire les éléments né- » cessaires pour son exécution en relief 5 réciproque- » ment , de iiiesurer un solide donné , de le lever ^ selon » l'expression consacrée par la pratique , pour pouvoir » le rendre intelligible par tous et exécutable en relief rt à une échelle quelconque.

» Suivez cette voie déjà éclairée par l'expérience, et » vous serez surpris de la promptitude avec laquelle les » élèves acquerront des notions exactes de situation, » de forme, de dimensions, de symétrie, de régula- )) rite, etc. 5 vous les verrez passer avec une étonnante » facilité de la projection cotée aux doubles projections

(7^ ) » rectangulaires, à la projectiou oblique et parallèle, » à la projection concourante, etc.; vous les trouYerez » enfin parfaitement préparés pour les applications les )) plus importantes de la géométrie descriptive , qui sont » les levers de terrains, de bâtiments et de machines y » but final de l'enseignement primaire de la géométrie » descriptive, w

Eu définitive, qu est-il sorti des travaux de la Commission mixte de iSSa? Vous le trouveriez, mon cher Rédacteur, dans le Plan d^ études des Lycées de i853, sous la forme d'un Programme découpé, discontinu, sans méthode apparente, ainsi que le montrent, pour ne citer qu'un exemple, les fragments de projection cotée qui sont placés sans ordre à la suite du nivellement. Mais la conséquencc la plus fâcheuse de ce plan d'études, quant h ce qui regarde l'enseignement de la géométrie descriptive et des travaux graphiques, c'est la suppression de la géométrie descriptive sur le programme des mathématiques élémentaires. Cette suppression est Tobjet d'un regret général .

Toutefois on peut, on doit même, en s'arrètant au fait de l'apparition des plans cotés, considérer les nouveaux Programmes comme un acheminement vers la meilleure méthode d'enseignement du dessin des projections. La tentative récente de MM. Briot et Vacquant en fournit une preuve. Ces deux habiles professeurs ont fait, conformément aux Programmes de V enseignement scientifique dans les lycées, tout ce qu'il était possible de faire. Reproduire leur table des matières, serait donner lieu à de nombreuses observations de détail qui ne sauraient trouver place ici. En résumé, voici où en est à Paris, à la fin de l'année i856, renseignement élémentaire de la géométrie descriptive.

L' UfuWrsi/é a donné entrée aux plans cotés dans ses

(73) pr€>grainmes , programmes dont le livre de MM. Briotet Vacquank est l'expressioa fidèle.

A V École Polytechnique f la projection cotée, réunie auK diverses méthodes de représentation de Tétendue figurée , est reportée dans les premières leçons de géométrie descriptive.

On la trouve placée dans les mêmes conditions sur le programme du cours de géométrie descriptive du Conêervatoire des Arts et Métiers^ bien plus, on la retrouve sur celui du cours de géomëttîe appliquée du même éta blissement, sans doute pour y être traitée d'un autre point de vue.

A V Ecole mimicipale de Dessin de la ville de Paris ^ le professeur de géométrie descriptive traite aussi les plans cotés, mais, ainsi que MM. Briot et Vacquant, après une exposition complète de la méthode des projections rectangulaires et des applications qui s'y rattachent.

C'est-à-dire que partout , aujourd'hui , on enseigne la. projection cotée, mais pas encore à sa vraie place et avec le développement qui lui convient. Voilà où nous en sommes sur ce point, après un tiers de siècle. Patience! mon 4^1ier Rédacteur, le dernier pas sera fait bientôt. En attendant, rendez-moi la justice de reconnaître que j'ai prêché d'exemple, en paroles et en action.

L'année dernière, après Pâques, j'ai remplacé M. Ch. Dupin au Conservatoire des Arts et Métiers. Huit leçons seulement étaient disponibles; il fallut donc choisir un sujet *, on choisit Tart de lever un terrain, qui pût , tout en se rattachant au titre du cours de géométrie appliquée, être resserré dans ce cadre étroit. Mais plus tard , par suite de la prolongation imprévue d'un mois de Ten semble des cours du Conservatoire , cette matière dut être étendue pour quatorze leçons. Cet incident rompit toute l'économie de mon court enseignement, et m'empêcha, dans l'im-

Bulhtin mathématique, X. Ul, (Octobre iSSy.) '^

( 74 ) possibilité où j'étais de revenir sur mes pas, de consacrer à la projection cotée quelques leçons qui auraient été parfaitement placées là. Si ma santé m'avait permis de rester à ce poste utile, je me serais appliqué à combler cette lacune. J'ajouterai , en terminant, qu'ayant été appelé à l'Ecole Normale supérieure pendant les années i853 et i854 pour diriger les exercices de levers de terrain et de nivellement, j'ai eu l'occasion de voir l'état des travaux graphiques à cette école, et de concevoir la pensée d'être chargé de celte direction, bien autrement importante à mes yeux. J'ai même fait quelques démarches à ce sujet, bien convaincu que c'était là qu'il importait, avant tout, de faire connaître et pratiquer la projection cotée.

Note du Rédacteur,

r* Partie (classe de Troisième). Contient le levé des plans; mètre, graphomètre, équerre, planchette, arpentage, boussole, triangulation.

//* Partie (classe de Seconde). Méthode des projections orthogonales; polyèdres, cylindres^ plan, élévation et coupe de bâtiments.

///* Partie (Rhétorique). Nivellement, courbes do niveau ; plaji coté ,• problème sur les cotes \ lignes de faîte : thalwegs, etc.

Appendice (Mathématiques spéciales). Niveau à bulli? d'air, vérification des instruments •, niveau d'Egaidt.

Voilà ce que l'on enseigne dans les lycées. Que reste-lil à apprendre dans les écoles dites à^ application ? L'ouvrage commence par i" et 2® Levons. Nous maintenons qu'il faut dire i^® et a® Leçon au singulier. Dirait-on i^"" et 2** chevaux? La méthode des plans cotés est à la page i85^ elle devrait se trouver à la page i. C'est l'opinion du savant géomètre graphiste, chef des travaux graphiques à TEcole Polytechnique; opinion à laquelle nous

(75 ) adhérons complètement. Si un plan suffit, pourquoi de prime abord en prendre deux? Il y a déjà un tiers de siècle que M. Noizet a montré avec une clarté extrême qu'un seul plan suffit à la solution de toute espèce de problèmes dans Tespace. D'ailleurs, dans les services publics, on emploie beaucoup plus de plans cotés que d'autres , et c'est pour l'es services publics que la géométrie descriptive a été créée ; c'est là qu'elle obtient ses principales applications. M. Bardin est surpris de la lenteur qu'on met à l'adoption de la méthode Noizet. Le contraire serait plus surprenant. Le calcul infinitésimal, proposé par d'Alembert il y a plus d'un siècle, est-il adopté? Principe général : Le temps exigé pour l'admission d'une idée dans le courant de l'enseignement est toujours en raison inverse de la quantité de bon sens que renferme cette idée. C*est même un fait d'expérience : plus une proposition s'éloigne du sens commun , pourvu qu'elle soit entourée d'un clinquant profondément inintelligible, plus elle a de chances de succès, d'être acclamée avec enthousiasme par la foule. C'est ce que nous apprend un des plus abstraits penseurs de l'antiquité païenne et des plus grands poètes de l'antiquité romaine :

Omnia enini stolidi magis admirantur amantque Inversis quœ sub verbis latitantia cernant V craque constituant quœ belle tange/e possunt Jures et lepido quœ suntfucata sonore,

[De Rerum natura, lib. I, v. 642.)

Un poète français ajoute que ces stolidi sont partout en majorité {*).

(*) Pourquoi Lucrèce est-il exclu de l'enseignement? Ce poète fait pourtant partie de Tédition des Variorum publiée par Tordre de Louis XIV à Tusage du Dauphin. Le système atomistique est même aujourd'hui la base de toutes les sciences. Gassendi, prêtre philosophe, enseignait ce système au Collège de France et avait entrepris une traduction de Lucrèce.

lui UMU .iiuii . liîrnx ail ■'!„; iii .-r

NOTE

Sir U corn sf «ndaiice seiêitiE<|Hi de Un

Pae m. PROUHET.

Longtemps après l'apparition des journaux scientifiques, vers le milieu du xvii® aiècle, les savants ont continué à se communiquer par lettres leurs découvertes. Pour donner une idée de l'activité qui régnait dans ce commerce épistolaire, je citerai Tannonce suivante que je trouve sur la couverture du V® cahier (1796) du journal d'Hindenburg [jirchiy der rem en und angewand* ten math^matik),

« Annonce relatn^e à diverses correspondances de Jean

BemoulU avec

Lettres.