BAC AB X AC B'AC'^AB'XAC

et les triangles AOB , AOB', AOC , AOC donnent

AOB AB AOC __ AC AOB' ■" AB' ' AOC' "" ÂC' '

En remplaçant BAC, B'AC par S -f- Sj , S' -+- S,', et

AOB, AOB', AOC, AOC par S, S', Si, S/, et en multipliant membre à membre les deux derniers rapports, on a

SS, ABXAC BAC

d'où

S' S', AB'XAC BAC

O "T" Ol iJ^i

On tire de là

s' + sv S' s;

Si l'on suppose le point O pris hors de l'angle , on a

aussi — — — égal à une quantité constante.

Note. MM. Richard P. Oxamendy (deCuba) Aubert, professeur, Poudra, un anonyme et M. A, Raimbeaux ont rçsolu la question de la même manière.

(voir t. XV, p, 291) ;

Par le P. H. ROCHETTE, S. J., et un ANOÎÏYME.

Toutes les circonférences ayant leurs centres sur une même droite et coupant à angle droit une circonférence donnée ont même axe radical, et toutes ces circonférences prises deux à deux et la circonférence donnée ont même centre radical. (Manjnheim.)

Soient m le centre de la circonférence donnée , pp la droite donnée; du point m abaissons une perpendiculaire mh sur pp: un point quelconque nii , pris sur cette perpendiculaire, sera d'égale puissance par rapport à deux

t^ercles Pi , Pj ayant leurs centres en p^ , p% sur la ligil6 pp et coupant à^ngle droit la circonférence M. (Nous désignerons le rayon d'un cercle par la lettre R afleclée de la lettre du centre comme indice. ) On a

d*où

//î,/?, — R^=/w, A— mh + Ri; on a de même

/w, p^ = Tw, A + hp^ = >w, A 4- m/?, — mh , R^, = wiï/'a — Rîi >

d'où

Wij»2 — -^^«^ "''^ — mh^ -^r Ri, et , par conséquent ,

m,px — R^^ = //«, /?, — R^^ .

Mais la puissance d'un point par rapport à un Cercle est égale à l'excès du carré de la distance de ce point aU centre sur le carré du rayon \ le point m^ pris quelconque sur la droite mh est donc bien d*égale puissance par rapport à deux cercles quelconques satisfaisant aux conditions de la question; et cette droite est ainsi Taxe radical commun à tous ces cercles qui forment une suite de cercles radicaux du cercle M et que nous appellerons suiteV,

On sait qu'on appelle centre radical de trois cercles le point unique d'où l'on peut décrire un cercle qui soît radical par rapport aux trois premiers. Soit C le centre radical de deux cercles de la suite P et du cercle M, ce

(47) point sera siiué sur Taxe radical inh commun à tous les

cercles de la suite P) et, par conséquent, le cercle C ne

pourra pas être radical de l'un des cercles de cette suite

sans l'être en même temps de tous les autres; il sera donc

à la fois radical du cercle M et de deux quelconques des

cercles de la suite P. Toutes les circonférences P prises

deux à deux et les circonférences données ont ainsi le

point G pour centre radical commun.

Note. Les cercles considérés dans cette question forment un système radical dont pp est Taxe primitif; sur la drdïte mh se trouvent les centres d'une suite illimitée de cercles coupant à angle droit tous les cercles de la suite P (ou radicaux réciproques par rapport à tous ces cercles P) , et sur la partie de cette droite qui est corde commune à tous les cercles P , les centres d'une suite de cercles /yidicaux simplet par rapport à ceux de la suite P. On peut consulter sur la théorie des suites radicales et ses applications le beau Mémoire que M. Gaultier de Tours a publié dans le XVP cahier du Journal de l'École Poly^ technique.

La première partie de cette question est la réciproque du théorème qui y est pris comme point de départ; quant à la seconde, elle s'y trouve d'une manière plus générale sous la forme suivante (p. 1 54 ) •

Il n'existe qu'un cercle de chaque suite qui soit, par rapport à un cercle indépendant, radical de même espèce que par rapport aux centres de la suite opposée.

■ •■■ - .^^Jl W^l ■* .

Par m. AUBERT.

Professeur.

Soient O le centre de la circonférence donnée que je prends pour origine d'axes rectangulaires , r son rayon , C, C, C",... les centres des circonférences qui coupent à angle droit la circonférence O, et R, R', R", . . . leurs rayons.

a, 6 sont les coordonnées du point C, a', 6' • C ,

L'équation de Taxe radical des circonf^ences C et C! est

+ (2.r — a ~^(x.')[aL' — a) — R=^4- R'» == o;

elle devient, par un calcul très-facile, eu égard aux relations

ff? -H 6^ =r R' , a'* 4- 6'' == R'%

qui expriment que les circonférences C, C coupent à angle droit la circonférence O,

équation d'une droite qui passe par le centre Ode la* circonférence donnée.

De même, Téquation de Taxe radical des cercles C, C"

sera

( 49 ) équation identique avec la précédente , car les points C , C, C,... étant en ligne droite, on a

Donc il n'y a pour tous les cercles C , C, C",. . . pris deux à deux qu'un seul axe radical.

Maintenant considérops ensemble les trois circonférences O, C^ C. L'axe radical de O et C est représenté par Téquation

(2jr — ê) 6H- (2x — a) a 4- R* — r' == o,

qui , toutes réductions faites , devient

(i) 6^-f-aar — r' = o.

L'équation de l'axe radical des circonférences O et C sera

(2) ^'y-^afx — r' = o.

Les coordonnées du centre radical des cercles O, C, C sont les valeurs de x ely qui conviennent aux équations (i) et (2) , valeurs qui vérifient l'équation

qui n'est autre que la différence des équations (1) et (2) : ce qu'on sait d'ailleurs.

Le centre radical des circonférences O, C, Caserait donné par les équations

6^-f-aa: — r' = o, î>" y -^ ol^ x — a' = o,

qui , en vertu de la relation

sont identiques avfec le système des équations (i) et (2).

knn. de Mathémat., t. XYI. (FéTrier l857.^ 4

Donc il n'y a qu'un centre radical.

La même question peut être résolue par de simples considérations géométriques de la manière suivante :

Les rayons de la circonférence O menés aux points de rencontre de celle-ci avec les circonférences C , C',C^''sont pour ces dernières des tangentes égales issues du point 0 qui appartient ainsi à tous les axes radicaux \ d'ailleurs tous ces axes devant être perpendiculaires à la droite qui joint les points C,C,C'',.»- se réduisent à un seul, puisque du point O on ne peut mener qu*une perpendiculaire à cette droite.

On sait que les axes radicaux de trois cercles se coupent en un même point qui est le centre radical de ces cercles. D'après cela, le centre radical des trois cercles 0, C , C se trouvera au point de rencontre de Taxe radical commun avec l'axe radical des cercles O et C; de même, le centre radical des cercles O, C, C sera au point de rencontre déjà mentionné, et ainsi de suite, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un centre radical.

(TOlr t, XV, p. 407);

Par m. BOURDELLES,

Élève du Lycée Saint-Louis (classe de M. Briot).

Etant donnés une conique dont les foyers sont F et F' et un point quelconque M dans l'intérieur de cette conique ; si l'on mène MF rencontrant la conique en A et B, et MF' rencontrant la conique en C et D , on aura

MA "*" 5ÏB ^ MC *^ MD

(5. ) Lorsque le point M est intérieur, les sommes sont rem placées par des différences.

Soit P le point d'intersection des droites AD et CB , soit Q celui des droites AC et DB-, joignons le point M ailx points P et Q.

Si l'on remarque qu'il résulte de la construction précédente que PM est la polaire du point Q, que MQ est celle du point P, et que les droites MA , MP, MC, MQ forment un faisceau harmonique , comme ces droites MA et MC passent chacune par un foyer de la section conique 5 les droites MP et MQ sont rectangulaires 5 elles sont donc les bissextrices des angles formés au point M par les droites AB et DC.

En vertu de la proposition énoncée par M. Mannheim (Nous^elles Annales, tome XV, p. 383), si l'on considère l'angle P et les transversales DC et AB , on a

PMA PMB PMC PMD

ou bien, en exprimant les surfaces de ces triangles en fonction de deux côtés et de l'angle compris par ces côtés, on aura

MP sinPMA \MA "^ MB/ "^ MP sin PMC \MC "^ MD

et comme les angles AMP, PMC sont égaux, en multipliant les deux membres de l'égalité précédente par les quantités

égales

on obtient

MP sinPMA = MP.sinPMC,

MÂ'^MB^MC • MD

Si le point M est extérieur, il est évident que la somme serait remplacée par la différence, car alors on partirait de la relation

PMA PMB PMC PMD La propriété subsiste pour une conique quelconque.

DÉHONSTRATION DU THEOREME 334 (IHANNHEIH)

Par m. de BUSSIÈRE, Élève à l'École préparatoire de Sainte-Barbe.

Étant donnés un triangle ABC et un point quelconque O dans l'intérieur du triangle, on mène les transversales AOa , BOi , CO c : on a l'identité

kOb BOc COa AOc BOa COb

Cette proposition n'est à proprement parler qu'un corollaire du théorème de M. Mannheîm [Nouvelles Annales^ t. XV, p. 383). En considérant les transversales BOi etCOc,on a

AO^ AOB AOc AOC

(53) De même

BO tf "*" BOC BOtf "*" BOA '