D ARITHMÉTIQUE
Par m. Alexandre ALLEGRET, Professeur à Paris.
On trouve dans le premier livre de V Arithmétique de Diophante quelques énoncés de problèmes susceptibles d'une grande extension et qui , modifiés légèrement, conduisent à d'autres problèmes linéaires que la sagacité de Leonardo Pisano [voir le Bulletiriy 1 855-56) s'est appliquée à résoudre. Je m'occuperai spécialement dans cet article des propositions XXV, XXVI , XXVH et XXVIII, Dioph., liv. P*^, qui rentrent comme cas particuliers dans les deux problèmes d'arithmétique suivants.
Problème /. On range un certain nombre de personnes en cercle, et on donne à chacune une certaine somme dont elle est chargée de remettre une fraction déterminée d'avance à la personne qui se trouve placée à sa droite. Chaque personne reçoit alors de la main gauche une somme ) en même temps qu'elle en remet une autre de la main droite. On demande de déterminer quelle somme il faudrait donner primitivement à chacune de ces personnes pour qu'après tous les échanges effectués comme il vient d'être dit, elles se trouvent toutes en possession d'une même somme.
Solution, Ce problème est susceptible d'une solution uniforme, indépendante du nombre des personnes qui entrent dans l'énoncé. Pour fixer les idées , je me bornerai à traiter le ras où il s'agit de cinq personnes-, on verra facilement que la méthode est générale.
Soient
les cinq fractions données d'avance , et posons , pour plus de simplicité,
bi = - — ^—y bi = ; — -9 ^s = : 9
bi = : — 9 ^5 = : — J
OU
I — bi I — bi I — ^2
on aura, d'après le^ conditions du problème, cette suite d^équations
*&-h* aiX|= Xi^" a^Xa = a:a4- «3-^3 = ^3-+" ^4-^4 = «^4 "h ^&^&y les cinq inconnues de la question étant représentées par
■37 1 wbj •4^3 uF^ ^2
b, bi 63 ^4 ^5
et X| , OTs 9 Xs , 0:4 et Xs étant cinq autres inconnues auxiliaires qu'il s'agit de déterminer.
Remarquons que, comme il ne peut être question que de la recherche du rapport de ces diverses iucomiues, on pourra poser
Pour toute autre inconnue , 0:3 par exemple , on aura
rtj
et plus généralement, i ou son résîdu suivant le module 5 désignant Tun quelconque des indices i, 2, 3, 4 011 5, on aura
= «/^., Gi^i fl|'+3 «,-+.4 H- ( l)*
I ûi^, o I O I
Faisant passer la dernière ligne du dernier déterminant à la première place , ce qui revient à multiplier le déterminant par ( — 1)', on aura
Xi — ^i+i ^i-f-2 â5/j 3 fii^^ —
I fl/4., O O
Or ce déterminant est susceptible d'une réduction analogue à la précédente et on est ainsi conduit à la formule suivante d'une remarquable simplicité :
û,-j i «;^2 ût;-4-a fliu.4 — ûi-n «
<-Hi «^<-t-2 "i-i-a
(li
hi
bi \ •+- ûi+i ûi^i — «/+, + I
application. Supposons qu'on donne
( '-^9 ) on aura
ei
Les cinq inconnues seront donc proportionnelles aux cinq
nombres suivants :
202, 3o, 148, io5 et 120,
ce qu'on peut vérifier immédiatement.
La suite prochainement.
Par m. Abel RAINBEAUX
ET M. A. SAINTARD,
Élève du lycée Loiiis-le-Grand (classe de M. Lionnet).
Etant donnés un triangle ABC et un point quelconque O dans Tintérieur de ce triangle > on mène les transversales AOa, B06 , COc; on a l'identîté
Il I I I II
AOb BOc COa AOc B0« CO^
On a ('vozr page 22) . I I I I
( flr I « ■■■. I « I ■ ■■ ■ 1 1 ■ ■ ■ I %
^ ^ AOB^AO^ AOc ^ AOC
