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BOC BO f BOûf AOB ' I I I I

AOC COfl CO^ BOC

Ajoutant membre à membre (ce) et (/3) , on a (S) I I I I I -

BOC ' AOb ' BOc AOc ' BOa ' AOC En ajoutant membre à membre (c)) et (y) , on a enfin

AOb BOc COa AOc BOa COb

(▼olr t. XVI, p. 88);

Par m. L. BOURDELLES,

Élève du lycée Saint-Louis (classe de M. Briot]^.

i*'. Soit M le point de rencontre de la sécante arbitraire F' K avec une des coniques ; je mène par ce point la tangente MN à cette conique : je dis que cette droite sera tangente à la parabole ayant poiir foyer le point F et pour directrice la sécante F'R.

En effet, j'abaisse du foyer F une perpendiculaire à cette tangente. Soient K le point où elle rencontre la sécante et H le point où elle coupe la tangente-, si je joins M , F, le triangle KMF est isocèle , car la droite MH , tangente à la conique au point M , est bissectrice de l'angle KMF. Il en résulte que le point H est le milieu de RF, et , par suite , que MN est tangente à la pai aboie considérée.

La même démon slratiou s^appliquc à toutes les coniques homofocales ; par conséquent, si l'on mène des tangentes à toutes ces courbes par les points où la sécante les rencontre , la courbe enveloppe de ces tangentes sera une parabole.

a®. Il est évident que cette parabole est tangente à Taxe Oy des coniques qui contient les foyers imaginaires , car il est perpendiculaire sur FF' et en son milieu O.

3^« Toute tangente commune à une conique et à la parabole est vue du foyer sous un angle droit.

En effet, je considère la tangente menée par le point M; soit N le point où elle touche la parabole. Si du point N j'abaisse une perpendiculaire NK sur la directrice , je forme un triangle NKM, rectangle en K , qui est égal au triangle MFN ; donc l'angle MFN sous lequel on voit la tangente MN du foyer F est aussi droit. c. q. f. d.

Note. MM. E. Carénon et E. Laguières, élèves du lycée Saint-Louis (classe de M. Faurie) , ont résolu la question de la même manière. M. Abel Rainbeaux donne une solution analytique. M. Rassicod, élève du lycée Saint-Louis (classe de M. Briot) , ramène ingénieuse •* ment la proposition à celle-ci : Du foyer F' comme centre et du grand axe comme rayon , on décrit le cercle direoteuVy on prolonge le rayon vecteur quelconque F' P jusqu'à ce qu'il rencontre le cercle directeur en Qj par le point Q, on mène une tangente au cercle, et par lè point P une tangente à l'ellipse. Le lieu d'intersection E de deux tangentes est une parabole. La connexion de ce résultat avec celui dont il s'agit est évidente. En faisant varier là droite arbitraire , le point E décrit la directrice de l'ellipse relative au foyer F.

Note. MM. Sylvestre et Boyeldîeu, élèves de M. Catalan , et M. Poupelet, de l'institution Reussc, ont adressé les mêmes solutions.

THÉORÈME SUR LE TRIANGLE SPHÉRIQUE -, Pab m. combescure,

Professeur à Montpellier.

Théorème. ABC triangle sphériquc^ O centre de la sphère, Vj volume du parallélipîpède qui a pour arêtes OA', OB', OC-, A', B', a sont les milieux des côtés du triangle. S étant Taire du triangle, on a

V, =sin~S.

(Cornélius Keogb.) Démonstration, En désignant par a', t', c' les côtés du triangle A', B', C, on a

ces c' =i-~a cos - 0 -4- sm — flr sm - ô cosC • 2 2 ai

ou, en substituant les expressions connues de cos -a,

sin -rt , etc., en fonction des angles ,

cosc' = cos

sin A sin B Maintenant on a

Vî = sin^/5>'sin'c'sin'A' = 1 — ces' a' — cos' b' — ces' c' + 2 cos a' cos b' cos cf ,

et en substituant les expressions précédentes de cosc', cos//, cos a', il vient, après quelques transformations faciles ,

V* = I — cos^ -S

V,=sinis.