D'UNE ÉQUATION

Par m. Emile MATHIEU,

Professeur.

Soit Tëquation algébrique à coefficients entiers

/(«) = Ajc^-f-Ba:^' H- Cjf"'~*-+-. . . + Ha:-f- L = o. Ânn, de Mathémat*, t. XVI (Avril 1857.) lO

i''. L'équation n'a pas de racines commensurables, si, A et L tîtanl impairs, Fiin des nombrcsy(i) elj'{ — i) est aussi impair.

a^. L'équation n'a pas non plus de racines commensarablcs , si , des quatre nombres A , L , /'(i) eif[ — i), aucun n'est divisible par 3 .

Démonstration, En effet, soit -r une racine fraction-

naire irréductible de cette é({uation; on aura

on

Aa

Ba

Aa»-'|

yit-\

fi

yit-i

Posons

^ (x) étant un polynôme algébrique dont les coefficients sont entiers } donc

Soit a un nombre entier; on obtient Tidentité

fw -^

et

Or si un nombre premier^ divise &*", il divise b^ il est

donc premier avec a ^ donc il n'y a pas de facteur com-

mun à 6"* et à 6a — ai il faut donc que , soît un

nombre entier, quel que soit a.

Faisons-y successivement

a = 0, a =: I , et =. — ï,

et alors

h, lilL, -^(^ -

a b — a b -{- a sont entiers .

Or - est racine de l'équation inverse a *

L«^-h Ba^-' -h. . .-+• Bjt 4- A =o;

donc, par la même raison que - est entier, j sera aussi

entier, dans l'équation inverse.

D'après cela, si A et L, multiples respectifs de & et â, sont impairs , a et i sont aussi impairs ^ donc b — a et b-h a sont pairs ety*(i) etf( — i) sont pairs.

Donc si A et L sont impairs et que l'un des nombres f(i) ety( — i) soit aussi impair , Téquation ne peut avoir de racines fractionnaires ^ le raisonnement reste le même lorsque b= i: donc Féquation n'a pas de racines corn-mensurables; dans ce cas , le théorème rentre dans le cas examiné [Noui^elles Annales, u XV, p. 449 )•

Supposons, en second lieu, que A et L ne soient pas divisibles par 3 , ^ et i ne le seront pas non plus ^ on aura

flf = 3/?±i, è = 37±i,

et il est facile de voir que l'un des nombres a — b et a-^b sera divisible par 3 ^ donc l'un des nombres f{i) et f( — i) sera nécessairement divisible par 3.

Donc Téquation n'a pas de racines commensurables , si

des quatre nombres A , L ,/' (i) iitf( — i) auciui n'est divisible par 3.

Corollaire. Toute é(juation d'un nombre impair de termes dont tous les coefficients sont impairs n'a aucune racine commensurable.

Obsen^ation, Si le terme tout connu manque, il y a des racines nulles.