SURFACES DU DEUXIÈME DEGRÉ

Plans polaires, Gonstroction d'une sarface da troisièae degré;

Par m. poudra.

Proposition I. Lorsque plusieurs surfaces du deuxième degré passent par huit points communs, les plans polaires d'un neuvième point M pris par rapport à ces surfaces passent par une même droite.

Démons fraf ion. En effet, toutes ces surfaces ont en commun une courbe du quatrième ordre ; donc si par le point M on mène un plan quelconque, il coupera les surfaces du deuxième degré suivant des coniques qui auront quatre points communs: les polaires du point M, relatif à ces coniques, passeront donc par un même point N qui sera ainsi dans tous les plans polaires. Il en sera de même pour tout autre plan mené par M ] donc tous ces points N devant se trouver en même temps dans tous les plans polaires de ce point M , il en résulte qu'il faut que tous ces plans passent par une même droite.

. Corollaire /. Si le point M est un des points communs à toutes les surfaces , les plans polaires de ce point seront les plans tangents aux surfaces en ce point. Donc tous les plans tangents à une série de surfaces du deuxième d^ré ayant en commun une même courbe du quatrième ordre

en un point de celle courbe passent par une même droile.

Corollaire II, Si le point M esl à Tinfini, chaque plan polaire passe par le centre de la surface ainsi que chaque polaire. Donc, lorsque plusieurs surfaces du deuxième degré passent par une même courbe du quatrième, lous les centres se trouvent sur une même droite.

Proposition II, Les plans polaires relatifs à quatre de ces surfaces ont le même rapport anharmonique, quelle que soit la position du point M.

En effet, par le point M menons un plan quelconque. Il coupera les quatçe surfaces suivant quatre coniques passant par quatre mêmes points. Le rapport anharmonique des polaires d'un point quelconque de ce plan est toujours le même , et ce rapport est égal à celui des quatre plans polaires. Or cela ayant lieu pour tous les plans passant par M, existe pour les points de leur commune intersection et , par suite , pour un point quelconque de l'es*pace. Donc, etc.

Corollaire. Si le point M est un des points communs d'înterêection des surfaces , les plans tangents en ce point formeront donc un faisceau dont le rapport anharmonique sera le même, quelle que soit sa position sur la courbe d'intersection. Donc tous ces plans tangents formeront par les intersections de faisceaux homographiques un hyperboloïde passant par cette même courbe. (On voit, en effet, que pour deux points de cette courbe les deux faisceaux de plans tangents étant homographiques, se coupent sur cet hyperboloïde. ) Chaque génératrice de cette surface se trouvant à la fois dans tous les plans tangents à toutes les surfaces passant par ce point, il en résulte que cet hyperboloïde sera tangent à toutes ces surfaces du deuxième degré suivant la courbe commune d'intersection.

Nous appellerons aussi , pour abréger, rapport anhar*

( »5o) monique de quatre de ces surfaces du deuxième degté passant par une même courbe d'inlersection , le rapport anharmonique des plans polaires d'un point quelconque relatives à ces courbes, ou bien le rapport anharmonique des quatre plans tangents à ces surfaces passant par une même droite, génératrice de Thyperboloïde tangent à toutes les surfaces du deuxième ordre passant par la même courbe dHmersection.

Remarquons que rhyperboloïde tangent ne contient généralement sur chaque génératrice qu'un seul point de la courbe du quatrième ordre, inteiyection commune des surfaces du deuxième degré, tandis que les hyperboloïdes quinousont servi (t;o<r t. XV, p. 385) à déterminer cette courbe ont une génératrice qui passe par deux points de cette courbe.

Proposition III. Quand une série de surfaces du deuxième degré ont une même courbe d'intersection, si Ton prend les plans polaires d'un point quelconque par rapport à ces surfaces , et qu'ensuite par une droite P quelconque on mène des plans (dont trois de direction arbitraire) forment un faisceau homographique au faisceau formé par les plans polaires , je dis que ces plans, qui correspondront un à un respectivement aux surfaces du deuxième d^ré, rencontreront respectivement ces surfaces suivant des coniques dont le lieu géométrique sera une surface du troisième ordre passant par la courbe d'intersection et par la droite P.

En effet, si l'on coupe tout le système par un plan, les surfaces du deuxième degré donneront par leurs intersections un faisceau de coniques passant par quatre mêmes points et dont le rapport anharmonique sera celui des plans polaires , et le faisceau de plans donnera un faisceau de droites dont le rapport anharmonique sera celui du faisceau de plans ^ donc ce faisceau de droites sera homo-

graphique avec celui des coniques , et , par conséquent , les points d^intersections respectifs donneront , comihe on sait (t.XIY, p. 36a) «ne courbe du troisième ordre passant par les quatre points communs des coniques et par le sommet du faisceau de droites , sommet qui appartient à la droite P. Tous les plans sécants donneront de même des courbes du troisième ordre ; donc le lieu de toutes ces courbes du troisième ordre sera bien une certaine surface du troisi^e ordre passant par la courbe d'intersection et par la droite P.

Proposition IF. Par quinze points de Tespace faire passer une surface du troisième degré.

Par buit de ces points , on fait passer un faisceau de surfaces du deuxième degré passant successivement par les points 9., lo , 1 1, 12 , i3 , i4 > i5 , ce qui fait sept de ces surfaces. On cherche ensuite par le problème (iVou*velles annales, t. XV, p. 161) la droite par laquelle sept plans étant menés par des points 9, 10, ii, 12, i3, 14? x5, ces sept plans forment un faisceau homographique à celui des sept surfaces du deuxième degré passant respectivement par ces points. Les intersections des suHaces du deuxième degré par les plans respectifs correspondants donneront des sections coniques appartenant à la surface du deuxième degré passant par les quinze points donnés

(prop. ni).

Proposition F* Si par huit points on fait passer un faisceau de surfaces du deuxième degré et par huit autres points un autre faisceau, mais tel, que les rapports anharmoniques des deux faisceaux soient les mêmes , alors les deux surfaces du deuxième degré correspondantes de chaque faisceau se couperont suivant des courbes du quatrième degré dont l'ensemble formera une surface du quatrième degré passant par les seize points donnés {y air t. Xn,p. 358).

( iSa )

SUR LA DIVISION ABRfifiÉB

(▼Oirt. XIII,p.170);

Par m. Eugène ROUCHÉ, Professear au lycée Charlemagne.

Principe. Quand on substitue au div^iseur le nombre formé par ses m + i premiers chiffres significatifs (en remplaçant par des zéros ceux des chiffres supprimés gui sont à gauche de la virgule)^ on augmente le guo" tient d'une quantité moindre que l'unité de r ordre de son m*^?** chiffre.

En effet, substituer au diviseur exact 648,2717954 la valeur approchée 648,271 revient à multiplier le quotient par

OU a 1 augmenter de son produit par ' ^ '^ • Ur cette

fraction est moindre que — ^ = — - : d'ailleurs le quo-

tient contient au plus 99999 unités de son cinquième

chiffre : il est donc inférieur à 10' unités de l'ordre de

ce chiffre; et, par suite, Terreur en plus commise sur ce

quotient n'atteint pas une unité du cinquième chiffre.

Règle. Pour obtenir, à moins d'une unité d'un cer~ tain ordre, le quotient de deux nombres entiers ou décimaux f on commence par déterminer l'ordre des plus hautes unités du quotient exact, et, par suite, le nombre des chiffres du quotient demandé ; on prend ueux chiffres de plus au dii^iseur et on divise le dividende . par le

( .53 ) nombre ainsi formé , abstraction faite des virgules. Seulement, après chaque di^^ision partielle^ au lieu d'abaisser à la droite du reste le chiffre suivant du dii^idende^ on dïi^ise ce reste tel qu'il est par le div^iseur précédent privée de son dernier chiffre, et Von s'arrête dès quon a au quotient le nombre de chiffres voulu. On place ensuite la virgule d'après l'approximation énoncée.

Exemple. Soient les deux nombres 1 5 466 9^*73863, 648,2717954 dont on demande le quotient à moins de 0,01.

Les plus hautes unités du quotient exact sont des di-

6 il 8 2 «7 i 2iaines ; le quotient demandé

2 3 35 aura donc quatre chiffres, puis-

5 5 6 o 4 q^6 son dernier chiffre doit

3^48 exprimer des centièmes. On

5 0,8 prend pour diviseur le nombre

de six chiffres 648,271 , et en suivant la marche indiquée

on trouve 23,85.

Démonstration. En remplaçant le diviseur par le nombre de six chiffres 648,271, on augmente le quotient d'une quantité moindre qu'une unité de l'ordre de son cinquième chiffre, c'est-à-dire moindre que 0,001. -Telle serait l'erreur, sî l'on conservait pour diviseur 648,2715 mais dans l'opération suivante , au lieu de diviser le reste par 648,271, on prend pour nouveau diviseur le nombre de cinq chiffres 648,27 •, de là résulte une nouvelle erreur, en plus, moindre qu'une unité du quatrième chiffre du nouveau quotient , c'est-à-dire moindre qu'une unité du cmi/ttième chiffre du quotient total , et, par suite, moin-r dre encore que 0,001. En continuant ainsi, on voit que chaque opération augmente le quotient d'une quantité moindre que 0,001 ; donc, après quatre opérations , l'erreur finale en plus sera plus petite que o,oo4 et à fortiori que 0,01.

De pluS) en négligeant de diviser le dernier reste par le dernier diviseur, c'est-à-dire en négligeant les chiffres du quotient qui suivent les centièmes , on commet une erreur en moins inférieure à 0,01 .

Les deux erreurs , Pune en plus , Vautre en moins , se compensent en partie , et comme chacune d'eUes est inférieure à 0,01 , Terreur totale est moindre que o^oi en plus ou en moins.

Remarque, La règle précédente semble exiger que le quotient demandé ait moins de onze chiffres afin que Terreur en plus soit moindre que 0,001 X 10 = 0,01. Mais hâtons-nous d^ observer que la limite indiquée dans notre principe est loin d*être aussi resserrée que possible.

Au lieu de prendre 100 pour limite inférieure du diviseur, on peut mettre 64o puisque le dernier diviseur employé a toujours trois chiffres (on prend en effet deux chiffres de plus au diviseur qu au quotient et Ton ne commence à supprimer un chiffre sur la droite du diviseur qu'à partir de la deuxième opération) 5 on trouve alors pour limite de Terreur, dans chaque opération par-

tielle, ^-y de Tunité du cinquième chiffre du quotient,

on a donc

et pour que Terreur totale précédente produite par les altérations successives du diviseur ne dépasse pas 0,01, il suffit que le nombre des chijfres du quotient demandé ne surpasse pas le nombre 64 formé par Vensemble des deux premiers chiffres du div^iseur.

On voit ainsi :

QuUl suffira de prendre au dis^iseur un chiffre de plus quau quotient toutes les fois que le nombre des chijfres

du quotient demandé n^ excédera pas le premier chiffre du diviseur, et que^ en général, n étant le nombre des chiffres du quotient demandé, il faudra compter sur la gauche du dii^iseur assez de chiffres pour former un nombre au moins égala n et puis prendre n chiffres de plus. C'est la règle de M. LioDnet (t. XI, p. i48).

n n'y a d'ailleurs aucune modification à faire dans le cas où un dividende partiel contient dix fois le diviseur correspondant. On prend alors lo pour quotient partiel ; on trouve que les quotients partiels suivants sont nuls, et le quotient ainsi obtenu est évidemment approché par excès.

RBCllEIL DE FORMULES RELATIVES AU CERCLE

(voir t. XII, p. 802).

Multiples de rc de i à g ayec vingt décimales.

TT = 3,i4i59 26535 89793 23346 27r= 6, 283 18 53071 79586 47692

dans laquelle la valeur de a , comparée à celle de c, est loooo fois plus petite que dans l'équation

la méthode des approximations successives aurait conduit à des valeurs de plus en plus éloignées de la racine cher' chée , comme il est facile de s'en assurer. En général , lorsque l'équation considérée

ajc^ H- ^.r — c = o

a des racines de signes contraires, pour que la méthode dout il s'agit donne des valeurs de plus en plus approchées de la racine positive de cette équation, il faut et il suffit qu'on ait

ac :-

Quand l'équation proposée a des racines de même signe et inhales , on a nécessairement

ac i et la méthode n'est jamais en défaut. G*

•DRSTIM D'EXANBN.

donne en grandeur et en position les deux axes hyperbole, construire deux diamètres conjugués *ment un angle donné,

isigneparOÂ, OBles demi-axes donnés; le pre-

i étant supposé transverse. Les diagonales durec-

jonstruit sur les axes détermineront les aymptotes

( i59 ) OX, OY 5 dont l'angle YOX est divisé en deux parties ^ales par l'axe transverse OA. Sur l'une des deux asymptotes, OX par .exemple , je prends un point quelconque X', et sur la droite OX' je décris, du côté où se trouve le sommet A , un segment capable de l'angle donné que doivent faire entre eux les diamètres conjugués cherchés. Par le milieu M de OX', je conduis à OY une parallèle qui ira couper l'arc du segment décrit en un certain point P. La droite OP, menée du centre au point P, sera la direction qu'il faut donner à celui des deux diamètres conjugués qui doit couper la courbe. La direction de l'autre s'obtiendra en menant par le centre de la courbe une parallèle à la droite PX'.

Pour déterminer la longueur du demi-diamètre dirigé suivant OP, on mènera par le sommet A une parallèle à OP, qui rencontrera les directions des asymptotes en des points C, D5 puis on prendra une moyenne géométrique entre AC et AD. La longueur du demi-diamètre non transverse sera déterminée par une construction entièrement semblable.

Le problème admet une seconde solution qu'on obtiendrait en substituant au segment capable de l'angle donné un segment capable du supplément de cet angle. Les dia-' mètres de la seconde solution sont , par rapport aux axes^ symétriques des diamètres de la première solution.

(TOirt. XV, p. 859);

Pab le p. h. ROCHETTE, S. J.

Si p et ^p-^i sont des nombres premiers absolus, 2

( '58) dans laquelle la valcw de a , comparée à celle de c , est loooo fois plus petite que dans Téqualian

O9OOJ .^' -\- X — I =: O,

la méthode des approximations successives aurait conduit à des valeurs de plus en plus éloignées de la racine cherchée , comme il est facile de s'en assurer. En général , lorsque Téquation considérée

aa:^ -\- bx — c = o

a des racines de signes contraires, pour que la méthode dout il s'agit donne des valeurs de plus en plus approchées de la racine positive de cette équation, il faut et il suffit qu'on ait

ac ;-

Quand Téquation proposée a des racines de même signe et in^alea , on a nécessairement

ac i et la méthode n'est jamais en défaut. G*

(KIBSTION D'EXANIN.

On donne en grandeur et en position les deux axes d'une hyperbole, construire deux diamètres conjugués qui forment un angle donné.

Je désigne par OA , OB les demi-axes donnés 5 le premier OA étant supposé transverse. Les diagonales du rectangle construit sur les axes détermineront les aymptotes

( i59 ) OX, OY 5 dont l'angle YOX est divisé en deux parties égales par l'axe transverse OA. Sur l'une des deux asymptotes, OX par .exemple , je prends un point quelconque X', et sur la droite OX' je décris, du côté où se trouve le sommet A , un segment capable de l'angle donné que doivent faire entre eux les diamètres conjugués cherchés. Par le milieu M de OX', je conduis à OY une parallèle <jui ira couper l'arc du segment décrit en un certain point P. La droite OP, menée du centre au point P, sera la direction qu'il faut donner à celui des deux diamètres conjugués qui doit couper la courbe. La direction de l'autre s'obtiendra en menant par le centre de la courbe une parallèle à la droite PX'.

Pour déterminer la longueur du demi-diamètre dirigé suivant OP, oîn mènera par le sommet A une parallèle à OP, qui rencontrera les directions des asymptotes en des points C, D; puis on prendra une moyenne géométrique entre AC et AD. La longueur du demi-diamètre non transverse sera déterminée par une construction entièrement semblable.

(TOlrl. XV, p. 888);

Pab le p. h. ROCHETTE, S. J.

Si ^ et 4^^ -+- 1 sont des nombres premiers absolus, 2

dans laquelle la valeur de a , comparée à celle de c , est loooo fois plus petite que dans l'équatian

ax^ -i- bx — c = o

a des racines de signes contrai reç^, pour que la méthode dont il s'agit donne des valeurs de plus en plus approchées de la racine positive de cette équation, il faut et il suffit qu'on ait

Quand Véquation proposée a des racines de même signe et in^alea , on a nécessairement

ac \ et la méthode n'est jamais en défaut. G*

(KIBSTION D'EXAMKN.

On donne en grandeur et en position les deux axes d'une hyperbole, construire deux diamètres conjugués qui forment un angle donné.

Je désigne par OA , OB les demi-axes donnés 5 le premier OA étant supposé transverse. Les diagonales du rectangle construit sur les axes détermineront les aymptotes

OX, OY 5 dont l'angle YOX est divisé en deux parties égales par Taxe transverse OA. Sur l'une des deux asymptotes, OX* par .exemple, je prends un point quelconque X', et sur la droite OX' je décris, du côté où se trouve le sommet A , un segment capable de l'angle donné que doivent faire entre eux les diamètres conjugués cherchés. Par le milieu M de OX', je conduis à OY une parallèle <jui ira couper Tare du segment décrit en un certain point P. La droite OP, menée du centre au point P, sera la direction qu'il faut donner à celui des deux diamètres conjugués qui doit couper la courbe. La direction de l'autre s'obtiendra en menant par le centre de la courbe une parallèle à la droite PX'.

Pour déterminer la longueur du demi-diamètre dirigé suivant OP, o>n mènera par le sommet A une parallèle à OP, qui rencontrera les directions des asymptotes en des points C, D; puis on prendra une moyenne géométrique entre AC et AD. La longueur du demi-diamètre non transverse sera déterminée par une construction entièrement semblable.

(TOlrl. XV, p. 888);

Pab le p. h. ROCHETTE, S. J.

Si ^ et 4 f? -H I sont des nombres premiers absolus, 2

l »56 ) Multiples de -de - à ^ a%^c vingt décifnales,