I III III III

^'=2' ^'=iâT ^'=2*4?' ^<=â'8r"

Il résulte de cette remarque qu'on pourra toujours éliminer entre ces cd + i équations les quantités Si , 2s V9 Soi qui sont au nombre de cd. Le résultat de cette élimination sera la relation entre Pi, P«,.-*î ^w ^^'^^ l'existence était à démontrer.

Cette relation sera d'ailleurs linéaire et de la forme

(R) P, -h A,P, -f. A3P3 4- . . . -1- A«Pa,= o.

{*) -2,, -2,, etc., expriment- les surfaces des polygones obtenus en

joignant de deux en deux, de trois en trois, les sommets de P^. Par

exemple Tégalité (3), dans laquelle B^ =•^96, = -rt peut s'écrire ainsi

Q désignant Faire du polygone obtenu en joignant de deux en deux les sommets de P^.

( «70 ) 6. Pour trouver les coefEcients As, A^,.**? ^m? ^^^ f^

k' un entier au plus égal à /i, et désignons par —^ la fraction

irréductible équivalente à — Prenons pour Pt un polygone régulier étoile de n' côtés et dont Tangle au centre est égal à — —» Ce polygone pourra être assimilé â.un

polygone de n côtés, en considérant son périmètre comme un fil non interrompu qui se serait enroulé h fois inildor

de ses sommets , h représentant le quotient -7*

Pi étant régulier, il en sera de même de P^ , Ps , etc. Chacun de ces polygones est composé de n triangles ayant le centre du polygone pour sommet commun.

Or la comparaison des triangles élémentaires de Pi et de Ps donne aisément

„ „ k'jt ^ kit Pa = P, ces' —7- = Pi ces' — ; n n

on trouvera de même

P3 = P, ces' — = p, cos* »

^ ^ k^^ ^ ^ kit

Vt = P3 ces' — = p, cos* — »

P„ = P„, cos' ^ = p, cos^(— ') — .

La substitution de ces valeurs dans la relation (R), après qu'on aura supprimé le facteur commun Pi éft remplacé

cos' — par X. donnera

(E) I -h AiX-^- Aa.r'-f-, . .-h A6)a:"""' =:: O.

k étant Tun quelconque des nombres i, 2,3,.*v^ — *>

( '7' ) il en résulte que réquation (E) admet pour racines

^v .27r n37r , (w — i)ir

cos*-> cos' 9 COS^ V? cos* —•

Or on trouve une équation qui admet ces mêmes racines lorsque Ton égale à zéro le développement de sin na en fonction de cosa, après y avoir remplacé cosa par x. Cette équation est la suivante :

<A>, , X,,..., A>4, étant des fonctions de n comprises dans Fun des types