a/? — i) ou

suivant que n est pair ou impair.

Les équations (E) et (C) ont donc les mêmes racines et doivent être identiques. Par conséquent, on aura

7. Ainsi les deux égalités qui constiltient la question 232 se trouvent démontrées et de plus généralisées, de telle sorte qu'elles expriment une propriété qui appartient à n points distribués conmie on voudra dans un plan, propriété qui ne dépend que du nombre dé ces points.

(TOir t. XV, p. 407);

Par le P. H. ROGHETTE,

Si une équation du troisième degré et sa dérivée ont toutes leurs racines rationnelles , les racines a , 6 , c de la première seront données par les^ formules

a = /w -1- A , ^ = /wa* -h h y fi = 2 mm -+- h^

m^hetu étant des nombres rationnels. (Prouhbt.)

Soient donc a, &, c les trois racines de TéquatioD donnée

La condition nécessaire et suffisante pour que les racines de la dérivée soient rationnelles est exprimée par la relation

Si nous y remplaçons P et Q par leurs valeurs en fonction des racines, elle prendra la forme suivante :

(« — ^)2 -<- ( fl — c) (ft — c) = es

et cette relation entre les trois racines a^b^c suffit pour qu'on puisse les mettre sous la forme indiquée.

En effet , si nous éliminons m et A entre les trois équations

nous obtiendrons une équation du second degré en u

[a->^c)iû — lia — h)a ^ {b — c) = o,

( 173 ) |ui donnera pour u des valeurs rationnelles toutes les fois [ue

»era un carré parfait. On pourra donc, dans ce cas-là, trouver aussi pour m et h, des valeurs rationnelles, et exprimer les trois nombres rationnels a , & , c au moyen des fonctions indiquées de m^hel u.

Le problème a deux solutions dans le cas où P' — 3Q n'est pas nul , et une seule dans le cas contraire.

On démontrerait très-facilement que réciproquement lorsque les trois racines a^ b^c d'une équation du troisième degré sont données par les formules

£1 = /w -h A , h :=z mu} H- A , c = 2 mu H- h , les racines de la dérivée sont rationnelles.

(TOlr t. XV, p. 464) ;

Par m. L. BOURDELLES,

Élève au lycée Saint-Louis ( classe de M. Briot ).

Question 353.

Soit ABCD un quadrilatère coupé par une transversale en a sur le côté AB et en j3 sur le côté opposé CD ^ soient a' le conjugué harmonique de a par rapport aux points A, B, et |3' le conjugué harmonique de |3 par rapport aux points C, D; menons la droite «^|3', faisons une construction analogue sur les côtés opposés AC, BD et sur les diagonales AC , BD : les trois droites passent par le uième point. (de Laffitte.)

Av ■■ \

Je désigne le point d'intersection de la sécante avec

BC par 7i et par 7' son conjugué.

AD— ^, — p' —

AC — E| — e' —

BD — Yii — ïj' —

Les droites DB , doc se coupent en un point 17 ; je le joins aux points ol' eià' ainsi qu'au point A. Les deux droites r,d' ^ yja'. étant conjuguées de la droite diî par rapport aux mêmes droites DB , A y}, doivent se confondre, c*est-à-dire que la ligne à' cl' passe par le point 1}. Ou verrait de la même manière que la droite ^' y' passe aussi par le point 77.

Un raisonnement semblable montrerait que les droites a^y', ^'|3^ passent par le point s et que les droites W^\ a' ^ passent par le point y.

Or dans le quadrilatère cn'y^^'V les diagonales «'|3', o'y' ^f) coupent en un même point O , pôle de m . De même

( «73 ) dans le quadrilatère a'^'^'m' les diagonales a|3', m's' se coupent en un même point situé comme le point O sur ^'^' qiii est une diagonale commune à ces deux quadrilatères. Ce point d'intersection est le pôle de la droite i}y. Mais ces deux droites my^ >9S coïncident: donc le point d'intersection des droites a'^\ ri'z' est le même que celui des droites et' i^'^ ^'y\ ^^ qtii démontre le théorème.

(( On pourrait simplifier la démonstration en remar- )> quant que deux côtés quelconques de l'hexagone formé » par les six points «s, |3 , y , c^, s, y? sont divisés homoi> graphiquement par les quatre autres*, il en résulte que » les diagonales qui joignent les sommets opposés passent » par un nij^me point. » [Géométrie supérieure, n^4l4.)

Remarques, Les six points a', |3', /, o', e', n* sont toujours sur une même conique , car les côtés opposés de l'hexagone dont ces six points sont les sommets , se coupent sur une même droite qui e^t la sécante.

Si la sécante s'éloigne à T infini , on retrouve ce théorème :

La ligne qui joint les milieux des diagonales d ""un quadrilatère et les lignes qui joignent les milieux des côtés opposés se coupent en un même point.

Ce point divise chacune d'elles en deux parties égales.

On aurait pu déduire aussi ce théorème du théorèoie proposé en faisant la perspective de la figure de oxanière à envoyer la sécante à TinCni , en employant le procédé décrit par M. Poncelet. ( Propriétés projectiles ^ page 54-)

Question 354.

On déduit ce théorème de la proposition 353 par les polaires réciproques. Les deux théorèmes sont corrélatifs [voir p. 24).

Remarque, Si Ton suppose que le point s'éloigne à l'infini sur une droite quelconque, on trouve ce théorème :

Si dans un quadrilatère on mène une transi^ersale quelconque et qu ^on joigne le sommet A au milieu du segment intercepte sur la sécante par les côtés AB, AD aboutissant à ce sommet ^ si l'on fait la même construc^ tion par rapport au sommet opposé B, les deux droites ainsi obtenues se coupent en un certain point. En opérant de même par rapport aux sommets BetC ainsi que par rapport aux points de concours des côtés opposés, les trois points d^ intersection sont en ligne droite.

On peut également déduire ce théorème en faisant la perspective de la figure sur laquelle est fondée la question 354.

Note. M. Richard Oxamendi adresse une solution aussi fondée sur des considérations segmentaires.

(Tolr t. XVI, p. 88);

Par m. L. BOURDELLES, Élève du lycée Saint-Louis (classe de M. Briot).

Une surface de révolution étant engendrée par la révolution d'une conique autour d'un axe principal , tout plan mené par un foyer O de la conique coupe la surface suivant une conique qui a le même point O pour foyer (*). (Môbius.)

Soit DD' Tintersection du plan sécant et du plan polaire du point O. Je dis que le point O est le foyer dé la section et que DD' est la directrice.

{*) MM. Persoz et Glery donnent une solution analytique et font la bonne observation que Taxe principal doit être l'axe à foyer. M. Poupelet, élève de M. Amiot (lycée Napoléon), adresse une solution analytique et géométrique; de même M. A. Rainbaux. Tai.

( '77 ) Pour le démontrer, j'abaisse du point M, pris d'une

manière quelconque sur la courbe , une perpendiculaire MP sur son axe, lequel va rencontrer DD' au point. D. Il suffit de faire voir que

= constante.

Or, en abaissant du point P la pei^endiculaire PI sur le plan polaire, on aura

DP DO

Mais si je considère le méridien de la surface passant par le point M, sa trace sur le plan polaire est la directrice de la conique méridienne, et comme la distance du point M à cette directrice est égale à PI , on aura

— = A = constante.

Donc, en remplaçant PI par sa valeur dans l'égalité (i), il viendra

DP 1 DO

()M = ;tXôH = ^^"^^^"'"'

car les longueurs DO, OH ne varient pas quand le point M se déplace sur la courbe.

Ann, de Maihémaî.^ t. XVI. (Mai 1857.^

QUESTIONS

372. Un triangle ayant pour sommets les deax foyers d'une conique et le troisième sommet sur la circonférence de la conique, trouver les lieux géométriques des trois points suivants : le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité, le point de rencontre des trois hauteurs, et déterminer le degré de l'enveloppe de la droite qui renferme ces trois points.

373. Soit une équation algébrique à coefficients entiers et le premier terme ayant pour coefficient Tunité \ si les modules de toutes les racines sont égaux à l'unité, toutes les racines de l'équation sont des racines de Tunité.

(Hermite.)