SYLVESTER
(voir t. XVI, p. 128) ;
Par m. E. PROUHET.
Le théorème de M. Sylvester est un cas particulier du suivant :
Si a ef b sont deux nombres entiers^ b étant moindre
( 185 ) que a ou au plus égal à sl, la partie entière de
est dii^isible par 2'"+* .
Je pose , pour abréger,
R = fl -1- y/a' + 2 ô et
en sorte qu'on aura
La partie entière de R étant 2a , on voit que le théorème est vrai pour m = o. Sa vérité, dans tous les cas, résulte des théorèmes suivants :
Théorème I. Si A^m+i ot B2,„+i sont dii^isibles par 2^, A»„,+8 et Bj,„^8 seront dii^ïsiblcs par 2*"*"*. En effet, on a
= {A.2nH-i 4-B2fl,+, v/«'4- 2 b) (2^' -h 2 b -h 2a \/a^ + 26), d'où l'on déduit
A2«+3= (2^2 4- 2è)Aî,„+, + 2a(a' -f- 26)B2OT4.,., Bj„+3 = naAim+i H- (2^2 -t- 2^)B.,ffn.i,
égalités qui rendent la conclusion évidente.
Corollaire, Aj et Bi sont divisibles par 2 : donc Aj,„+i ^^ Bj,»^! 50/1^ div^isibles par 2"*.
Théokeme n. La partie entière de R*"»-*-^ est 2 As,,,^! . En effet, R étant racine de l'équation
(1) x^ — 2ax — 2 0=1:0,
R*'"+* sera racine de l'équation
car la somme des {2m -f- i )'«'"" puissances des racines*dc
( «86 ) rëquation (i) esl 2 Ai^^.! , et le produit de ces puissances est — (2A)«'"+*.
En résolvant l'équation ( 2) , on aura
Il faut donc démontrer que Ton a en général
Cette inégalité est déjà vérifiée pour m = o , et nous allons faire voir que si elle a lieu jusqu^à un certain nombre m , elle aura encore lieu pour m -|- 1 .
En effet, on a
= ( A,„+, -h v/aL+i+2"»+'6»«+>)(2«' -f 2* -f- 2a sjà^^b), d'où Von déduit
A,«+3 = (2fl'-f- 2 b) A,„+, -h 2 û v^ALh-.+2»"'+' 6*"+' ^a*-^^h, valeur rationnelle malgré sa forme, car
il en résulte
Aîm+a X 2 a' -h 2 ^ ) Ajw+i H- 2 a* Aiai+i X2û2-4- è)2A,OT+,.
Cette inégalité ne sera pas troublée si Ton remplace dans le second membre 2 Ag,»^! par 2*"*+^ i*'"+*, quantité qui est plus petite par hypothèse, et là^-^-b par 2i'. On aura donc
JnH-3 ^ 2. U y
OU
Corollaire. Aa^+i étant divisible par 2"* (corollaire du théorème P*^), il en résulte que 2 Aî,,,^! est divisible par
( .87 ) i*""*"*. Donc la partie entière de Rj^+i est divisible par i**"*"*, ce qui est le théorème de M. Sylvester généralisé.
On peut compléter l'énoncé du théorème en ajoutant pie la valeur entière la plus approchée par excès de R'"* îsl divisible par 2"*.
(voir p. 186);
Par m. MANNHEIM.
Soit C le point de rencontre des droites M, N. Je circonscris la circonférence O au triangle ABC. Du point C comme centre, je décris une circonférence tangente à la circonférence 0\ soit D le point de contact. Lorsque la circonférence O roule dans l'intérieur de la circonférence C , les points A et B décrivent les droites M et N , je dis qu'un point quelconque du plan de la circonférence 0 décrit une ellipse. (Le point O seul décrit une circonférence. )
En effet, je joins ce point au centre O, cette droite coupe la circonférence O en deux points qui décrivent des droites perpendiculaires entre elles \ le lieu cherché est donc celui d'un point d'une droite de longueur constante dont les extrémités parcourent des droites perpendiculaires entre elles. Donc, etc. (D'où l'on déduit trèsfacilement la construction que j'ai donnée, tome IX, page 4ig. )
Ce que je viens de dire suffit pour la première et la seconde partie de la question 366. Je passe à la troisième partie. Soit E le centre du segment capable de l'angle
( * ) On est prié de faire la figure.
donné, ce point décrit une ellipse dont la normale au point E est ED. Cette droite coupe la circonférence E aux points où celte courbe touche son enveloppe (théorème de Descartes ) .
D'après cela, l'enveloppe est le lieu des extrémités d'une droite de longueur constante qui be meut en restant constamment normale à une ellipse fixe. On peut dire aussi que cette enveloppe se crompose de deux développantes de la développée de l'ellipse.
Il est facile de voir que la projection du foyer de l'ellipse sur les tangentes à cette courbe est une conchoïde du cercle décrit sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre , le foyer étant le pôle de cette conchoïde.
Pour la quatrième partie, je ferai remarquer que sur une droite AB, on peut décrire deux segments capables d'un angle donné : l'un fait partie de la circonférence 0 dont les points décrivent des droites et dont l'enveloppe se compose de la circonférence C et de son centre, l'autre ne conduit à rien d'intéressant.
Ce qui suit n'est pas proposé dans la question 366.
Soit G un point quelconque dv AB. Je mène DG qui coupe la circonférence O au point H. Je puis considérer G comme faisant partie d'une droiicî DH dont les extrémités décrivent la droite CH et le diamètre CD.
CH étant perpendiculaiie sur DG normale à l'ellipse décrite par le point G, est la direction conjuguée du diamètre CG. Lorsque DII prend la direction CH, le point G vient en G' et l'on a CG' = DG; DG est donc la longueur du demi-diamètre conjugué de CG.
De là la construction suivante qui donne en grandeur et en direction les axes d'une ellipse dont on connaît deux diamètres conjugués.
CG et CG' étant les demi-diamètres conjugués donnés, du point G j'abaisse sur CG' la perpendiculaire GH que
( '89 ) je prolonge dans le sens HG d'une longueur GD égale à CG'. Sur CD comme diamètre, je décris la circonférence O , je mène le diamètre GO ; les distances du point G aux extrémités de ce diamètre sont les demi-axes de l'ellipse, et les droites qui vont du point C à ces mêmes extrémités déterminent la direction des axes.
Dans un prochain article, je donnerai de cette construction une démonstration géométrique fondée sur les projections, je montrerai aussi comment on peut en déduire la construction connue de M. Chasles.
Note du Rédacteur, M. Breton (de Champ) fait observer qu^il a déjà traité cette question d*une manière complète et géométriquement dans les Noui^elles Annales (t. V, p. 591-599) \ qu'on trouve dans le même recueil une solution analytique (t. IV, p. 186 et 191). Cela n'a pas empêché qu'on ne se soit donné la peine de redécouvrir une partie de cette théorie dans le Journal de M. Liouville (t. XIV, p. 417) et dans le XXXVP cahier du Journal de V Ecole Polytecluiique , Note sur des théorèmes de Schooten et de La Hire. Beati quinîlùl legunt : omnia ingénient.
