OÙ 2 1 == I

Exemple,

i-f-2.3-h3. 4-4-6. 12 = 36. 1-4-9. 3-f-4-4+ ï2==9iî l'identité peut s'écrire ainsi d'une manière abrégée

1 (dld) = !($'- Id).

(J. LiOU VILLE.)

382. Soit/(x) une fonction algébrique de x et soient I3 r/, , Jj , r/3,..., //i tous les diviseurs de m. Remplaçant

X par tous ces diviseurs , posons

Soient parmi ces diviseurs âCi, a^, cts,..., a^ tous les nombres premiers facteurs de f/i *, on a Tidentilé

/(m) = FH-2F (^"l -.- 2F {^) - IF f-^U...

\a,/ \aiaj/ \(x.x(x.^cl^/

\a, a,/ \a, a,/ \aia,/ \ai «4/

+ f(^Uf(^W...

2F (-^) =F (-^^Î-Uf (^L U....

La loi est en évidence. ( J. Liouville. )

383. Soient donnés dans un même plan : i^ une courbe algébrique par une équation de degré n \ 7? un triangle dont les côtés sont donnés par les trois équations linéaires

d'un point quelconque M pris sur la courbe , abaissons sur les côtés du triangle p^ q^ r respectivement les perpendiculaires P, Q , R -, construisons une seconde courbe

PO, dont les points aient pour coordonnées -? ^ ; démontrer :

1 ® que la seconde courbe est aussi de degré n ; a** que l'équation de l'enveloppe de la droite qui joint deux points correspondants M, m des deux courbes est de degré a n.

384. La droite qui joint les extrémités des deux aiguilles d'une montre ordinaire change à chaque instant de longueur et de direction : trouver Téquation de la ligne

décrite par le milieu de celle droiie et la loi du mouvement.

385. Mêmes données : trouver Téquation de l'envelopjïe de la droite.

386. Le produit de trois nombres entiers consécutifs ne peut être ni un carré ni le double d'un carré (*).

(Faure.)

387. Lorsque les coefficients de l'équation générale du quatrième degré

ax"^ -f- 4 ha^ -f- 6 cx^ -^ ^dx -^ e =. o

ont entre eux la relation x

ace H- 2 hcd — ad^ — eh"^ — c^ = o ,

c'est-à-dire lorsque l'invariant cubique de la fonction du quatrième degré est nul , l'expression algébrique des racines de l'équation ne contient pas de radical cubique.

(Faure.)

388. m droites sont données dans un plan, ainsi qu*un point A. Soient (a, 6 ) le point d'intersection de deux quelconques de ces droites a, è, et B la droite conjuguée haruionique de la droite qui passe par A et (a, ft) relativement aux deux droites a et b. Nous aurons dans le plan

-m [m — ï) points (a, b) et autant de droites B. On de-

mandé : i° de démontrer que par ces -m [m — i) points

on petit toujours mener une courbe de degré m — i qui touche les droites B en ces points (a, i) ; 2^ donner l'équation de cette courbe ; 3^ appelant A la courbe ainsi construite , considérons une autre courbe B tracée au moyen d'un second point A' de la même manière que la précédente 5 du point A , on peut mener [m — ï) ('w — 2 ) tan-

(*) Le produit de tant de nombres consécutifs qu'on veut ne peut être une pniissance parfaite d'aucun nombre. Tn,

gentes à la courbe 6, par le point A' on peut en mener autant à la courbe A : on a ainsi i[m — i) {m — a) points de contact qui sont sur une courbe de degré m — 2 ; 4® donner Téquation de cette courbe. (Fatiiie) .

389. La somme des carrés des coefficients de (A + 1)*^, r étant entier positif, est égal a j—^^ les crochets désignant des produits continuels. Exemple

alors

( Lagràuge. )

390, Soit AEFD un rectangle, de F on abaisse une perpendiculaire FG sur la diagonale DE 5 par G on mène une parallèle au côté EF rencontrant le côté AE en C et une parallèle GB au côté DF rencontrant AD en B. Faisons

CG=ô, BG = c, DG=/, E(j = g, on a

(H. MoNTucci 5 professeur au lycée Saint-Louis.)