Valeurs des coefficients de V équation au moyen des
identités.
On a
= \? [(BB' — k" B" )» — ( B' — A' A'' ) ( B'» — A A" )] = U A" m,
d'où
A" L' = /t» /' H- k" / + 2 «" AA^' + /w«"' — mll\
De même
(it^' + mn"){kk" -h /w/?') — [k' — w/) ( >t' k" -f- w/î) = L^ [(BB'— A" B" ) (BB''— A'B') — (B^— A' A") (B'B"— AB)]
d'où
BL' = « ( A-» — ml) — ^' (Atï' + k"l) — /i" (X-r -h mn ).
demêmeB'L%B''L*.
Les valeurs de C, C\ C" se tirent des trois identités
A it + B' r 4- B" >t' -h C/w =r o,
Quant à celle de E, on l'obtiendra par les identités
C«''— C'/'H- a'n=Ek\
c«'-+-c'/?''— c"r = Er.
Enfin de
Ck -h Cr-f-C'r -4- wE=:L,
on déduit L eu fonction de /r j/r', A'', /,....
Nous pouvons donc former ce nouveau groupe de. relations :
AL» = k'^ /"+ k"W -h ink' k" 4- mn' — m/'/", A'L'= k^ l" + /r» + 2/î' kk" -4- /w/i'» — /w/r , A" L» = ;t»/' -f- X'^' / + 2 «'' kk' + /w«"» — /w/r , BL' = nk^ — ww/ — kk' n' — it' A'' / — n" kk" — mn' n" , B' L» = n' k'^ — /»«' /' — k' k" n" — k" kl' — /i^it' — mnn" , B"L' = /i" r» — /w/i'' r — %k" n — >t^' r — n' k' k" — mnn' , CL'= l'fk^-n'k^ nn' k' -f- /i/ï'' /f" H- k'* ï n' -f- ^' /" «'% C L»= /r it' — n"" k' -h ««' k -H /i'' r A 4- /i' n" k" + /«A^" , CL' = /r r — n"^ k" + W X^ -f. «' n" k' -h ^Z'»' -I- it' //», EL» .- 7.nn'n" -4- /i'^' l" -f- /i"/' -^ nU — If T , L^= 2/w/i«' «" 4- /w/i"* r 4- /w»" /'4- /w/i» / — mil' l" 4- nkk'nn' 4- 2^^ «/i"4- l'k' k" n' n" ^ k'^ n'^ — h'"' n'"' ^ k^n'-^T. nlk" X- 4- 2 n" l" kk' -h^n' l' kk" 4- //" X'' 4> /' r /î^' 4- ll'k'\
U existe un grand nombre d^autres identités : nous avons seulement donné les plus importantes. Par la suite^ nous donnerons au fur et à mesure celles dont on aura besoin.
3. Il faut encore noter les deux relations suivantes : i^. Du système d'équations
oLX^ — 2pj?4-7 = o,
oLxy — ex — P/4-Ç = o,
ay^ — 2sj4-7r= o, on conclut
aizy — ye' — TT^' — aÇ' 4- 2 peÇ = o*
( ai3 ) . 2^. Si l'on a les six équations :
a«' H- pp' -h 77' =:0, aa"-f pp"+ 77"= o, a'a"H-p'p''H-7'7" = o, Aa' 4- BapH-Cp»+Dp7 4- Ea7 -f- F72 = o,
Aa''» -+- Ba'P' -h Cp'' -f- Dp'7'+ Ea'7' -h F7'»=: o, Aa"» H- Ba"p'' -h Cp''' -h Dp" 7" -}- Ea'' 7'' + F7"' = o,
on a aussi
A + C -hF = o.
Démonstration. On peut évidemment supposer y et y', égaux à l'unité. Alors
aa'-h pp'-+- 1= O, aa" 4- Pp"-t- 1=0, a' a" -}- p' p'' + I = o .
Aa* H-Bjtp 4- Cp'+ Dp-+- Ea + F = o,
Les trois premières équations donnent
et
«-y — TTW — '
oc •^■^ m / "~ ■ '
V • + pr
Remplaçant « par sa valeur dans la relation
Cp'+ Aa'+Dp 4-F=— a(Bp-H E),
il vient
Cp'(H-p'p")-A(i+pp')(n-pp")-f.Dp(n-p'n
= (Bp + E) v'- (I + pp'jli +>?")(• H- P' P") ; on a de même Cp" (i + pp') - A (i + pp') (i + p' p" ) + Dp' (i H- pp")
-+-F(i + pp")
= (B p' + E ) v/-(.+ p>')(n-pp")(n-p'p").
Retranchant ces deux équations l'une de l'autre et suppnmant le facteur (3 — j3', on obtient
C (p + p') -h A p'P" p — C(i -f- pp') p" -h D ~ Fp"
=:B>/-(i-Hpp')(i4-pp")(i+P'p"),
et aussi par des moyens semblables
C (p 4- P'') H- A p' p" p — C (i -f- pp") p' + D — F p'
= Bv/-(H-pp')...
Retranchant encore, on obtient
