MALLET-BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DU BUaKAU DES LONGITUDES , DE l'eCOLE POLYTECHNIQUE , ETC . ,
Quai des Augustins, n° 55.
^cb2«0»10
/^£^/ O^crt^. ^Z, ,
NOUVELLES AlALES
DE
FORMULES FONBiUlENTALKS DE L'ANALYSE SPHÉRIQIIE
(fOlr t. XVII, p. »07> ;
Par m. VANNSON.
Propriétés des tangentes.
L'équation de la tangente sera
Étant donnée une circonférence de grand cercle y =: Ax+B, si on demande la condition pour qu'elle soit tangente à Tellipse, on écrira que les deux équations sont identiques, ce qui conduira à la condition
L'équation d'une tangente pourra donc se représenter par la formule
Si on cherche la rencontre des deux lignes ainsi représentées, on trouvera qu'elle a lieu à 90 degrés de l'origine ou du centre en un point dont la latitude a pour tangente
(6) A (voyez la tangente au cercle). Le signe + se rapporte à la tangente LC située au-dessus du diamètre LO, et le signe *— à la tangente LD au-dessous de LO; LO a pour équation
Si on mène un rayon au point de contact C , et qu'on désigne par A' le coefficient angulaire de ce rayon, on aura
donc entre ce coefficient et celui A de la tangente on a la relation
aa'=~é;.
FiG. 1.
Soit OL le conjugué de OC et A'' son coefficient, on a aussi
donc
d'où il résulte que la tangente et le diamètre OL se rencontrent à 90 degrés du centre en un point dont la latitude a pour tangente
"^ ==-<?• On pourrait donc mener une tangente en C en menant
le diamètre OC, déterminant son conjugué (nous avons vu le moyen plus haut), prenant sur ce conjugué OL un arc ^al à 90 degrés, et joignant le point obtenu au point C . On peut aussi se servir de la relation
X étant la tangente du segment déterminé par la rencontre de la tangente avec Taxe.
Théorème. La tangente divise en parties égales P angle formé par un rayon vecteur mené du foyer au point de contact et le prolongement de P autre rayon veclew\ ^
Il suffit pour cela de démontrer qu on a la relation
sinF^^sinFD sinFC "" sinFD '
Or, nous avons trouvé précédemment
/F'CH-FC\ /F'C-^FCX Cs/ '^"H 1 j = ^ "' '"'^Si 1 j=~*
Ajoutant et soustrayant membre à membre, puis divisant, on trouve ,
sinF^C fl'-4-Cjr\
sinFC ""a^ — Cx'*'
d^autrc part nous avons trouvé
tangOD^^-,
(8) on a d'ailleurs
UngOF=:C;
opérant sur ces équations comme sur les précédentes, c^ a
sinF'D a»-4-C.r'
donc
sinF'C sinF'D
Cela donne le moyen de mener par un point quelconque une tangente à Tellipse, comme sur un plan.
Quand la courbe est rapportée à deux diamètres conjugués, Téquation de la tangente ne change pas de forme, c'est toujours
y-y xx'
Fio. 3.
sinFD
'a» — Cx' '
sinF'C
sinF'D
sinFC '
sin FD
Si on cherche l'intecsection de la tangente avec Taxe des x, on trouve
d'où l'on voit que si Ton prolonge une tangente jusqu'à la rencontre d'un diamètre quelconque en- P, et qu'on joigne le point du conjugué à 90 degrés de Torigine au point de contact, qu'on prolonge Tare obtenu jusqu'au premier diamètre en D, on aura
tang ON tang OP = tang^ ON .
(9) Première application. On donne dans une ellipse a, a, a', trom^r les trois autres quantités b, a', b' {Foir t. Xffl, p. 169).
Fio. 4.
Soit OA = le demi-axe dont a est la tangente ^ j élève au point A un arc perpendiculaire a OA, il sera tangent à la courbe. Soit C sa rencontre avec un des diamètres dont on donne la direction.
Si nous prenons sur l'autre OL = 90**, que nous menions l'arc LA qui coupe en D le diamètre OM, on aura par le théorème précédent
/!»=: tangOD tangOC.
Ce qui permettra de construire le diamètre suivant OM. Le reste a déjà été exposé.
Deuxième application. On donne a, a, i', trouver les trois autres quantités.
Soient A A' Ta^e donné et MO A l'angle a . J'élève au point A sur Taxe un arc perpendiculaire AC qui est tangent à la courbe. Soit OP la direction inconnue du conjugué.
(lo) Prenons OCM=: 90°. Joignons MA par un arc qui coupe en D Tare OP. Nous aurons par le théorème précédent
tang OD tang OP = ^' . '
Soit mené Parc DS perperdiculaire sur OP, nous aurons
langOD tangOA tang OS "" tangOP' d'où
tang OS tangOA = tangOD tangOP = ^'.
On a donc
tangOS = -^,
ce qui détermine le point S.
Maïs le lieu des sommets des triangles rectangles ayant pour hypoténuse OS est une ellipse dont nous avons déjà déterminé les axes. OS est l'un des axes et l'autre 6 se trouve par la forniule
• fi . ^S sm 6 = tang — \
la question revient donc à trouver la rencontre d'un grand cercle MA avec une ellipse dont on connaît les axes. (Problème déjà résolu.)
Discussion, Pour que le problème soit possible, il faut que le cercle M AD coupe l'ellipse. Or celle-ci a pour équation (résultat déjà trouvé)
Aétant la tangente de 0S=-^« Le cercle MA passant par
un point M de latitude a et par le point A a pour équation
jr=r a'(.r — «), (a' =: lartga) ;
combinant ces deux équations, on trouve par 1 élimina-' ^ tion àe j,
Pour que les racines soient réelles, il faut avoir
A^- satang (45** — -)î y > 2a» tang / 45*> — - I .
Ce qui donne le minimum de b\ Si on suppose pour i' sa valeur minimum, les racines sont égales et on trouve
.r = asina'^ d'où
f = — a'a(i — sina').
Si on divise j^ par je:, on aura la tangente de Tangle AOZ compris entre la direction du diamètre i' et l'axe de la
courbe a. On trouve que cet angle AOZ = ^- — h 90**.
Ce qui démontre que la direction du diamètre i', dans le cas du minimum, est bissectrice de Fangle formé par Taxe des y et OM' prolongement de OM. De là résulte ce théorème :
Parmi toutes les ellipses quon peut construire sur un axe donné, ilj en a une pour laquelle le conjugué d'un diamètre OM de direction connue est minimum^ et dans cette ellipse^ la direction de ce conjugué diuise en parties égales r angle formé par le second axe et le prolonge^ ment du diamètre donné OM.
Le même théorème a lieu sur un plan.
Théorème a démontreu. Si aux extrémités AB dUtn
axe, on mène deux tangentes et quon les coupe par une troisième aux points M et N, quon projette AM et BN sur Vautre axe^ le produit des tangentes des deux projections est égal à la tangente carrée de la moitié de cet axe, et si on multiplie tangÂM par tangBN, on troui^e la tangente carrée de ce même demi^cuce multipliée par le cosinus carré du premier.
La première partie de Ténoncé est encore vraie, quand on remplace les axes par un système de diamètres conjugués.
Ce théorème peut servir à résoudre le problème suivant :
On donne un des axes d!une ellipse et une tangente, trouver Vautre axe.
On peut aussi en tirer le corollaire :
Etant donné un triangle bi-rectangle ABC, si on coupe
FiG. 6.
par un arc les côtés en M et P, de manière que le produit des tangentes des segments à partir de la base soit constante = tang*(p, la courbe enveloppe de l'arc sécant est une ellipse sphérique, dont un axe est AB et dont Vautre s^ obtient en prenant AP = BM = ç, et joignant PM, l'intersection de cet arc avec la perpendiculaire Oy donne l'extrémité du second axe.
Théorème a démontrer. Si on mène en un point A
(.3) d'une ellipse une tangente^ quon la prolonge jusqu à la rencontre enM^ îi de deux diamètres conjugués pris pour axes , qu*on construise le demi-diamètre conjugué de celui qui passe au point A , la tangente carrée de la projection de ce demi^diamètre sur un des deux premiers égale le produit des tangentes des projections des deux segments de la tangente [il s'agit ici de projections obliques).
Si au lieu de deux diamètres on prend les axes, et qu^on appelle b* la tangente du diamètre conjugué de celui qui passe au point de contact, le produit des tangentes trigonométriques des deux segments de la tangente égalera
è'^ cos' a ces' b -f- sin' a sin* b.
Cette relation sert à résoudre le problème suivant :
Étant donnés les axes dCune ellipse non construite, . lui mener une tangente telle, que le produit des tangentes des deux segments interceptés entre le point de contact et les axes soit égal à une quantité donnée P.
La relation donnera b^*. Connaissant a, b et &', on pourra par une construction déjà faite trouver la direction du diamètre i', ainsi que la direction et la grandeur OA de son conjugué \ il suffira alors de joindre le point A à un point pris sur i' à 90 degrés de l'origine.
Discussion . Pour que le problème soit possible, il ne suffit pas qu'on trouve pour b'* une valeur positive, il faut qu'on la trouve comprise entre a* et A*. Ce qui conduit aux conditions
P<sin*a, P>sin»6, '
a et 6 désignant les demi*axes. Dans le cas du maximum, la tangente sera menée par l'extrémité du petit axe et réciproquement.
Théorème* Si des deux foyers d'une ellipse on abaisse des arcs perpendiculaires sur une tangente , le produit des sinus de ces arcs est constant et égal à sin' 6 cos' y, y étant la distance du centre au foyer ^ et 6 le demi-axe perpendiculaire à l'axe des foyers^
On saitfqu'une tangente quelconque peut se représen-r 1er par l'équation
y = mx 4- sla^m' -h ^''
La distance à du foyer à cette tangente est donnée d'après une formule ci-dessus démontrée par Téquatîon
sin tf .—
r autre distance est donnée par Téqualiou
. -, sla}rn} -^ h* — me
sin r = . . . \
multipliant membre à membre et observant que
cas a' == ces b cos y , on trouve
sin 5 . sin ^' = sin' 6 ces' c.
Ce théorème peut servir à trouver l'axe S, connaissant les foyers et une tangente.
Application. On donne un foyer et deux tangentes,
FiG. 7.
(.5) trouver le lieu du second foyer. Soient F le foyer donné, A et A' ses sinus distances aux deux tangentes OA, OB,y Fautre foyer, d et à^ les sinus des deux distances.
On aura, par le théorème précédent,
mais
sou
on aura
sin /OA
"sin(Ô— /OA;' /OA=a,
sin a
sin(0 — a)' soit S Tangle FOB, on aura de même
sin 6
sin (9 —g)
D'où on conclut aisément a = 6-, donc le lieu du point/ est une circonférence de grand cercle passant à l'origine et par un point symétrique de F relativement à la bissectrice.
Corollaire. Si d'un point O on mène deux tangentes à
FiG. 8.
une ellipse et qu on joigne le point O aux deux foyers pardeux arcs de grands cercles, ces arcs feront avec les deux tangentes, des angles égaux. Si on demandait le lieu du centre qui sur un plan est une ligne droite parallèle au lieu du foyer, je dis qu'on trouverait une ellipse sphérique. Cela revient à faire voir que le lieu du milieu de l'arc variable CB terminé d'une part à un point fixe C , et d'autre part à sa rencontre B avec une circonférence AD, est une ellipse.
Posons
CB = ap, tangCA =r /? et BCA^r «>, nous avons dans le triangle ABC,
p=z tang2pcos6) ou atangp cosw = p{i — tangp), ou passant aux coordonnées rectangles,
C'est une ellipse dont on pourrait trouver les axes par 3on équation, mais on les obtient plus aisément par la géométrie. Soit N le point milieu de CA, N sera l'extrémité d'un axe. Prenons NM = -? M sera l'autre extré-
mité, OK perpendiculaire sur MN sera la direction du second axe. Pour en avoir l'extrémité , construisons le le triangle OCgf, de manière que l'angle^ =R. Soit K le milieu de g:R, joignez CK, prolongez l'arc CK jusqu'en P, K sera, par suite d'une égalité de triangles, le milieu de CKP, donc K est un point du lieu, c'est un sommet. La courbe est alors facile à construire.
On voit donc que quand on donne deux tangentes et un foyer y le lieu du centre est une ellipse.
( '7 ) Problème. Trouver le lieu des projections du foyer sur les tangentes.
. On peut prendre Féquation générale des tangentes
y = mx -h ^a} m^ -4- 6%
Qt celle d'une perpendiculaire abaissée du foyer sur cette tangente, puis éliminer w entre ces deux équations; mais le -calcul est long et compliqué : on arrive beaucoup plus simplement au résultat par le moyen, suivant : Soit MK une tangente en M ; joignons le point M aux foyers par les
FiG. 9.
arcs MF, MF, prenons sur FM prolongé MN = MF, joignons NF' par un arc qui coupe la tangente en K. K est un point du lieu; j'appelle p la distance OK, w l'angle KOF, et p la distance FK ou KN dans le triangle KOF, nous' aurons ^
(1) cos/? = cosc cosp -f sincsinp cosci),
et dans le triangle NFF',
(a) cos2a = C0S2C cos2p -f- sin 2c sîna/? cosF'^;
on a encore dans ORF
ces F' = — ^ r-^-— —
sin /? sin c
Je remplace cosF'par cette expression dans Téquation (2), puis j'élimine ç.Ohp par l'équation (1), on trouve ainsi l'équation
sin'p(cos'c H- sin'c cos' w) == sin'a, ^«rn. Je A/afA<f/»fiit.^ I.XVin. (Janvier iS^g.) 2
( i8) et passant aux coordonnées rectangles
j' ( ces' c — sin^ a) x^
sin'a
Le lieu demandé est donc Une ellipse concentrique à la première ayant un axe commun a»; l'autre axe 26 est donné par la formule
sin^ a
lang' 6 =
ces* e — sin' a
Si le rayon de la sphère est infini, on trouve un cercle,
car Zz=^ et.
FiG. 10.
Quand on a reconnu que la courbe est du second degré, on peut trouver les axes sur la figure. Il est d'abord évident que OA est un axe de la courbe. Pour avoir l'autre, au sommet C menons une tangente CP et projetons le foyer F' sur cette tangente \ l'arc FP projetant ira couper
l'axe des j^ en un point D à - -F 6 de l'origine (S = OC).
Donc on a pour le point P,y = — y» l'équation de l'arc F'P sera donc
(c étant la tangente de OF'). Si dans cette équation nous
faisons j^ = 5, nous aurons' les coordonnées du point D. Mais ces coordonnées doivent vérifier Téquation du lîèu
il est donc facile d'avoir 6 où tangS^ on trouve comfhe par l'autre piéthode
• sin'a
tang' 6 :
cos' c — sm* a
Si d'un point A, pris hors d'une ellipse sphérique, on mène deux tangentes et qu'on divise en parties égales les angles qu'elles font entre ellesj les deux bissectrices viennent couper l'axe en deux points tels, que le produit . des tangentes de leurs distances au centre- est une constante c' égale au carré de la 'demi-distance des foyers. Les tangentes ont pour équations
yz=iwx'\- y] a} W H- b\ yr=z m' x -h \/a*/»J-+- 6". Les bissectrices ont pour équations .
y-^mx — \ja^m*'\'b^ y — m' x — \/û^mJ-4- A^
V'i -f- 6*4-/w'(i -|-û*j ± Vi -♦- ^^ H- /??;•( I-+- a') ou '
r (^ — mx — s) := r^ (y — m' x — 5^),
en appelant r et r' les inverses des -dénominateurs et 5, /, les deux radicaux du numérateur. Faisant j^ = o , ou trouve
rs — / / m' r^ — mr
pour Tautre bissectrice, il faut changer le signe . de r', ce qui donne
d'où on tire
cos*a cos*p ~~ '
C désignant la tangente de la demi-distance des foyers.
FlG. II.
Il suit de là que si avec 2C comme arc diamétral on traçait un cercle, les deux points P et P seraient tels, que la polaire de l'un relative à ce cercle passerait par l'aulre, donc les points de rencontre des bissectrices avec l'axe et les. deux foyers sont quatre points harmoniques. Ce théorème peut servir à construire une ellipse connaissant le centre, la direction de l'axe et deux tangentes. On peut encore en conclure que si on donne deux tangentes et un foyer, Iç lieu de l'autre foyer est une circonférence de grand cercle.
Problème. Trouver le lieu des sommets d'angles droits dont les côtés sont tangents à une ellipse.
Soient a:' y', x''y'* les tangentes des coordonnées des points de contact , les deu^ tangentes en ces points auront pour é<}uations
(a.) on a aussi
a^Xl^b^xl = a^b\
et pour que les deux tangentes soient rectangulaires, on a la condition connue
îl faut éliminer x', x"^ y\ y" entre ces quatre équations. L'élimination se fait comme pour Tellipse plane , et on trouve pour équation du lieu
Premier cas.
on a une ellipse sphérique. Si par les points C et 6, som-
FlG. 13.
mets de la courbe donnée , on mène deux tangentes se coupant en D , le cercle concentrique à Fellipse et passant en D aura pour équation
et comme dans la courbe trouvée on a
x'-hr'>a' + b\
tous les points de cette courbe sont extérieurs au cercle (OD), par suite ils sont extérieurs à Tellipse; on pourra
donc par chacun d'eux mener deux tangentes, qui se couperont à angle droit.
Deuxième cas. Si on a
«»>i et 6»>i,
réquation trouvée ne SiCra satisfaite par aucune valeur réelle de y et de x^ en sorte que le problème de mener à Fellipse deux tangentes rectangulaires sera dans ce cas impossible.
Troisième cas.
L'équation trouvée pourra s'écrire ainsi :
on pourra l'appeler une hyperbole sphérique, et tous ses points conviendront encore à la question.
Quatrième cas.
La courbe donnée est une parabole sphérique, le lieu trouvé a pour équation . *
26 réprésentant le petit axe de la courbe donnée; cette équation représente deux circonférences perpendiculaires à l'axe de 90 degrés ; il est aisé de reconnaître que ces cîiv conférences sont les deux directrices de la parabole. Ainsi les directrices d'une parabole sphérique ont, comme sur le plan, la propriété de contenir tous les sommets des angles droits circonscrits à la courbe*
Si on construit une courbe dont les points soient les
pôles des tangentes de la courbe donnée , on trouve une
ellipse qu'on nomme ellipse supplémentaire de la première; elle a avec elle Taxe commun AB; le second axe MN est plus grand que AB. Cela pose, si par un point X de la directrice on mène les tangentes XH,XK, leurs pôles seront deux points P et Pi de la courbe supplémentaire, 1 «rc PP' passera donc par le pôle de la direc* trice XY qui est le foyer de la parabole donnée, et il sera supplémentaire de l'angle X , c'est-à-dire de 90 degrés. On voit donc que si un ellipse a sou petit a'xe de 90 de- •
grés, tous les arcs de même longueur -9 inscrits à la
courbe, passeront par un point fixe qui sera le foyer de * la parabole supplémentaire. (Borgnet. )
On résout, d'une manière analogue, le problème suivant : Trouver le lieu des intersections des tangentes menées par les extrémités de deux diamètres conjugués. L'équation est la même que sur le plan, savoir :
(*V^)^ {af^f
Si par le centre O on mène une sécante coupant les deux courbes aux points A' et A, on aura
tanjiîOA'= langOAV^-
ï)e Jà résulte un moyen simple d'obtenir les axes. Menons
FiG. 14.
aux sommets D et C les tangentes DA', CA' ; A' sera un point du lieu,- joignons AD, et abaissons OK perpendiculaire sur AD) puis de A' abaissoils aussi une perpendiculaire sur OK, cette perpendiculaire viendra couper OD en un point D^ qui sera Textrémitë dVn des axes^ Tautrc sommet C se trouve de même.
Propriétés des cordes supplémentaires.
Leur définition et la relation entre leurs coefficients angulaires sont comme pour Tellipse plane. Ainsi en appelant ces coefficients a, a', on aura
aa = ou ÎJ.J
selon que la courbe sera rapportée à ses axes ou à un système de diamètres conjugués. Or on a la même relation entre les coefficients angulaires S, S^ d'une tangente et du
FiG. i5.
( a5 ) rayon mené au point de contact^ si donc a = |3, on aura
ce qui démontre que quand une tangente rencontre une corde CB à 90 degrés du centre, la corde supplémentaire de CB rencontre aussi à 90 degrés du centre le rayon mené au point de contact.
Cela donne un moyen facile de mener une tangente par un point donné sur la courbe ou par un point situé à 90 degrés du centre.
Si on appelle 7 le coefficient angulaire d'un grand cercle et 7' le coefficient du rayon qui joint son pôle au centre, on a aussi
77 =-^,- Si donc a = y, on aura
c'est-à-dire que si une corde CB rencontre à 90 degrés du
Fifi. i6.
centre un grand cercle, la corde supplémentaire de CB rencontrera aussi à 90 degrés du centre l'arc allant du centre au pôle de ce cercle. Si donc on veut construire la polaire d'un point A, on joindra OA , on prendra sur OA prolongée OM = 90**, on joindra M à l'extrémité L de l'axe ou d'un autre diamètre par un arc coupant l'ellipse en B. On mènera CB corde supplémentaire de BL, on prendra sur CB un point N à 90 degrés du centre^ et le point N
(a6) sera un point de la polaire de A. U sera facile d*en trouver un second par la relation connue
tang^ O ^ == tâng OA . tang OL .
On démontrera aussi facilement que si un diamètre et une corde se coupent à 90 degrés du centre, le conjugué et la corde supplémentaire se coupent à la même distance du centre, ce qui servira à construire deux diamètres conjugués dont Tun passe par un point donné. '
SUR L1STERP0LATI0M (*)5
Par m. Eugène ROUCHÉ,
Professeur au lycée C^arlemagne, Docteur es Sciences mathématiques.
1. Dans Tun de ses intéressants articles sur divers points du Cours de Mathématiques spéciales , M. Gerono a indiqué un moyen de déduire la formule d'interpola-^ tion de New^ton de celle de Lagrange.
Je mè propose de donner de ce même problème une solution assez facile et assez courte pour être introduite dans les Éléments. Toutefois, je ne serais peut-être pas revenu sur cette question, sans une circonstance particulière^ qui se présente d'ailleurs assez fréquemment en mathématiques.
Lorsqu'on aborde le problème dont je viens de parler, il suffit d*un coup d'oeil pour voir que la formule de Lagrange, dans sa forme habituelle, ne se prête pas aisément a la transformation demandée. Une préparation préalable est nécessaire pour éviter de longs calculs. En cherchant à grouper convenablement les termes, j'ai été
(*) D'après une thèse récemment soutenue dout nous rendrons «omptd.
conduit à une forme) qui non-seulement fournit une solution presque immédiate du problème proposé, mais qui est en général beaucoup plus commode pour la mise en nombres. Cent forme n'est d'ailleurs nouvelle qu'en apparence; elle ne diffère pas au fond d'une formule énoncée dans des termes différents par Newion dans un paragraphe des Principes^ et reproduite par Lacroix dans son Traité de calcul différentiel et intégral.
Pour rendre ce travail utile aux lecteurs auxquels ce journal s'adresse, je commencerai par exposer ma solution du problème que j'avais d'abord en vue ; je montrerai ensuite l'identité de la nouvelle forme de la formule de Lagrange avec celle qui résulte de la traduction analytique de l'énoncé de Newton.
