Soit Uj, une fonction dont on connaît les m -f- i

valeurs

|tt«, a,, 1^2,. .. , ./4^, pour

Posons, en général, «

(X — OTo) (^ — ^l) . • • (J^ — -^n) = ?« {^) s

et remplaçons, dans la formule de Lagrange,

la fraction

par

^fiZlf^

X — Xi

(>8) La fraction (2) se réduisant à l'unité pour ir=im^ nous décomposerons ainsi le second membre en deuic sommes partielles, dont la seconde ne s'étendra que de i=:o à iz=zm — I . Nous aurons, de la sorte.

is::m — I

ou

La seconde partie étant de même forme que le deuxième membre de la formule (A), on peut lui appliquer le même procédé de décomposition ; en opérant de même sur le résultat, et continuant ainsi, on obtient la formule

n=zm I i = n "1

n=oL '=0 J

que nous avions annoncée et qui se prête mieux aux calculs numériques que la formule (A).

3, Voici maintenant un lemme :

La somme

t = o se réduit à

lorsqu'on prend pour Xo, Xj,. . ., x« les valeurs équi^ distantes x^, x© -f- h, . . . , Xo H- mh.

(^9) En effets réalité

ff^ (Xi) = {Xi — X,) {Xi — X.) . . . (.r.- — X/^,) {Xi — Xi+i) . . . (Xi'-Xn)

donne pour ces valeurs de la variable x

la somme (3) a donc pour limite Texpression

qui n'est autre que (4).

i. Cela posé, la substitution de Xq + i7i à x, iransforuie la formule (B) en la suivante :

(x X») {x — X, h),.,{X — Xq 71-— 1 h ) A" «0

ou

qui est précisément la formule d'interpolation de Newton, relative au cas où la variable croit par degrés égaux. Le problème proposé est donc résolu.

5. Dans le lemme V du III® livre des Principes^ après avoir énoncé la formule (G), relative au cas où la va« riable reçoit des valeurs équidistantes, Newton ajoute :

Sunto punctay A, B, C, D, E, etc. ; ab iisdem ad rectam çiiamuis positione datant HN demitte perpendicula ^i/oifciiw^ae AB, BI, CK, DL, EM.

• ( 3o ) Si punctorum H^I, K, L, etc..., inœqualia sunt intervalla HI, LK, etc., collige perpendiculorurri AH, BI, CK, etc., differeniias primas per intetvalla perpendicaloram divisas b, 2b, Sb, 4l>? 5hy,,.y secundas per inler-valla bina divisas c^ 2C, 3c, 4c9**m tertias per intervalla terna divisas d, ad, 3d,...., quartas per intervaUa qua-terna divisas e, ae,. . . , et 5/c deinceps ; ita ut sit