Si l'on eût posé

on eût trouvé

x^ et j, sont ce qu'on nomme sinus et cosinus hypers boligues, mais ici u n'est pas un arc de la courbe On a

, dxi

ri et

s. Les sinus et cosinus hyperboliques s'expriment ai^ sèment par des exponentielles.

Si l'on considère l'expression

enformantle produit F (i/). F (^) et groupant les termes de même degré

ni^nfn(/-,)^ •••"^ST n7~'

(436) on aura la relation

qui conduit de suite à

F(«)> = F(2«)..., F(a)'»=F(/iîa)5 et, par suite,

et encore

Il faut bien remarquer que la fonction a*" satisfait à la relation (9). D'après cela, si Ton pose

qui conduit à

logû'

quelle que soit la base du système de logarithme, on aura

le sorte qu'en posant

on trouvera

et pour a = e,

Or soit

z =0:1 — J,, il vient

s.€« = j?; — ^î = I et 3 =

de là encore

expressions des sinus et cosinus hyperboliques. Comme

^ = ar,4- V^î — I, il en résulte

et

comme on l'a déjà vu.