TRIGONOMÉTRIE

a étant un nombre entier positif, on a généralement

|cos^ = i[i + {-i)«](-.)f

M. Cari Spîtz , professeur à l'École Polytechnique de Garlsrulie, déduitde là l'universalité des formules connues de sin (a + b) et cos (a 4- t). (jirchwes de Grunert, t. XXXII, p. aSg*, iSSg.) Il procède ainsi :

a étant plus petit que - et a un entier positif, on connaît les diverses valeurs dzsince, dbcosa elsiniaH ) \

on pose

. / ait\ sm I a H ) = X sm a -f- j^ cos a ,

et prenant pour a les diverses valeurs ^n, ^n±i 4 n -h 2 , on détermine x et y^ et Ton a finalement

sin

. / ûttX . an . an

m ( a H 1 =p: sm a CQS H ces a sin — j

(an\ an

a H I = ces a cos — 2 / 2

ûTT an

cos I a H ) = cos a cos sin a sm — •

De même, en s'appuyant sur les expressions (i), soieni <x = a'+— » P = /3'-t- — > a' e% ^' moindres chacun

que ^9 aeib deux nombres entiers positifs. Faisons

QH a, d* après ce qui précède,

, an , . an

sm a = sm a' cos — -+- cos a sm — j

, «TT . , , an cos « =r CQS fx! cos sio af sm — >

sin 8 = sin 6' cos -r-r + cos W sin — > r '^ 2 "^2

CQS p =2? cos p' cos — — sm p' sm — ;

sin(a •+■?) = sin ^a'-h p'-f- ^ j

Cff

= sin(a'4-p')co$ Hcos(a'-+- p')sin — ;

cçir a'-H /3'< -; or sin a cosjS -f- cos a sin jS , en y

tuant les valeurs de ci-dessus , amène au membre à droite de Féquatian (a) ; d'où

sin (a 4- P) = sin a cosp 4- cosa sin p. Même raisonnement pour cos (a + P).