Exemples, i

\Jz=:ax*-^iibxX'^ty\ U,=rAX»+2BXY-|-2CY»î d'où

U et Ui sont sous-entendus. Exécutant , on trouve

où ac — i* est un invariant , parce que les variables ont disparu. Mais si n est supérieure à 2, la formule opératoire donne un co variant.

Ann, de Maihém., t. XVlll. (Décembre iSSg.) 29

(450) Ainsi , faisant n =: 3 et appliquant la formule opératoire

[''dp-'''^^^"'dPr ■

(U n'est pas.un facteur, mais à écrire après les <i*), et posons

on trouve pour covariant, après avoir divisé par 6,

2{a(?— b^)x •+• {ad — be)jt'y on a encore

2(W — c*)^4- (ad — bc)x.

Cette formule opératoire est maintenant connue sous le nom de Hèssien^ d'après le célèbre disciple de 3acobi, Otto Hesse. Mais si Ton applique à cette fonction U la formule opératoire

dy^ dfdx^ dy^dx' da^

les variables disparaissent , et Tinvariant s'anéantît identiquement, de sorte qu'il n'y a pas d'invariant, et la même chose a lieu pour toute fonction de degré impair, lorsqu'on y applique une formule opératoire déduite de celte fonction elle-même. Nous laissons au lecteur le soio d'en chercher la démonstration. Cela n'a pas lieu pour les fonctions de degré pair, qui donnent toujours un invariant.

U =={«, 6, c, </,<?)(«, ^)«, on en déduit la formule opératoire

appliquant cette formule à U, on trouve rinvariant ae — ^bd -^ Zc^*^

do£

dx* dy' ^ da^dy dx dy"

appliqué à D, donne Tinvariant

ae — ^bd-\- 3c*;

et en appliquant cette même formule opératoire à utt degré supérieur, on trouve un coyariant.

(TOir t. XVII. p. 31);

Par m. J. MURENT, de Clbemont.

Licencié es Sciences.

A quelles contktions dowent satisfaire les cotés et les angles d^un parallélogramme pour quil soit possible d"* inscrire un carré dans ce parallélogramme P

0 GBLM F A

I. Soit un carré MNPQ inscrit dans un parallélogramme OADB. Les triangles MAQ et NBP sont égaux , car le côté MQ = NP et les angles sont égaux chacun à chacun , comme ayant les côtés parallèles ; donc les lignes MA et BP sont égales et parallèles; par suite, les

( 45a ) Kgncs MP, AB se coupent en leurs milieux, et il en est de même des lignes NQ et AB.

Ainsi, les diagonales du carré et celles du parallélogramme se coupent en un même point C. On sait aussi que les diagonales du carré sont égales et perpendiculaires entre elles.

Cela posé , menons CK et CH parallèles à OA et OB , puis abaissons sur OA les perpendiculaires CF, BL et NG ; cette dernière rencontrant CK au point I. Les triangles rectangles CMF, CNI sont égaux , car les hypoténuses CM et CN sont égales comme demi-diagonales d^uo carré, et les angles MCF, NCI, ayant même complément ICM 5 sont égaux. On a donc