OA
cos ô H- sin 0
On obtient ainsi deuxparallélogrammes-limites BOA'iy, BOA'^D". La construction d'un sommet du carré inscrit montre que, dans chacun de ces parallélogrammes-limites 5 le carré inscrit est le carré ayant pour diagonale la plus petite diagonale du parallélogramme.
En prenant pour le sommet A un point quelconque situé entre A'^ et A', on déterminera une infinité de parallélogrammes dans lesquels on pourra inscrire un carré.
Dans le cas particulier où 0 = 90°, les conditions (i) et (3) donnent a = by c'est-à-dire que le parallélogramme doit être un carré. La construction d'un sommet du carré inscrit montre qu'on peut prendre pour ce sommet un point quelconque du côté du carré donné, et l'on trouve ainsi cette propriété connue : Que dans un carré donné, on peut inscrire une infinité de carrés.
$i Ton a 0 = 45°, les conditions (i) et (3) se réduisent à
a'^b JZ, a^- b 4/2.
Les parallélogrammes -limites sont doubles l'un de l'autre , et chacun d'eux est double du carré inscrit.
rV. ^uipposons donnés les deux côtés 2a et ai. Les re*
( 457 ) latioQS (i) et (3), écrites sous la forme
sin 9 4- cos 0 ^ T ' sin 6 -f- ces 9 ^ -? b a
se réduisent à une seule
smO -h cosO^T'
en supposant a'^b. Mais comme on sait que le maximum de sin 6 -h cos 0 est v'a , on a aussi
sin 0 + ces 0 ^ v^.
Les relations (5) et (6) donnent les limites entre lesquelles doit être compris l'angle 9 pour que l'inscription du carré soit possible 5 et ces relations ne seront compatibles que si l'on a
j<s/2 ou a^b^.
Ainsi, la construction du carré inscrit exige d'abord* que les côtés donnés satisfassent aux relations
b<a<bs[7..
FiG. 3.
En supposant ces premières conditions remplies , construisons les limites deô. Pour cela, soit OA = aa [fig. 3),
(458) rëgalité
sin Ô ■+- cos 0 = ^ donne 0 =r 45" =: AOV ;
c'est une des limites de Q, Menons ensuite par le point A la ligne indéfinie Ay telle , que l'angle OAj^ = 45**, et du point O comme centre, avec ai pour rayon, décrivons un arc de cercle. Puisque l'on a
a<ô V^î d'où *>4= ou 26>0V,
Va
cet arc coupera nécessairement la ligne Ajr en deux points B', B'^ et les angles
AOB'==d', AOB"=e",
qui comprennent entre eux la première limite AOV, seront les valeurs de 6 satisfaisant à Téquation
sin ô -H ces Ô =•-.
En effet, en abaissant B'L' perpendiculaire sur OA, on a
B'L' = L'A, et , par suite ,
2fl = OA = OL' 4- L' A r= OL' -4- BL'= 2 ^ (cos Ô' + «n 0'),
cos Ô' -h sin G' = 7..
On verra de même que
cosÔ"4-sinO"=T' o
Il résulte encore de la relation b<^ay quelles deux an-» gles Vy 6" seront aigus.
( 459 ) Ainsi, les deux côtés a a et 2b étant donnés et satis* faisant aux conditions
b<a<b)fi,
on. pourra donner à l'angle 6 formé par ces côtés toutes les valeurs comprises entre les limites AOB', AOB'', auxquelles correspondent les parallélogrammes B'OAD', B'^'OAD''. En prenant pour le sommet B un point quelconque de l'arc B'B'', compris entre B' et B", on déterminera toujours un parallélogramme dans lequel il sera possii)le d'inscrire un carré.
Dans le cas où a = & , les limites de 0 sont données par les relations
sîn9 4-cos6^i et sin 9 -f- cos 9 ^ V^ j
et comme ces relations ont lieu pour toute valeur de 6 comprise entre o et go degrés, on en conclut qu'il est tou-r jours possible d'inscrire un carré dans un losange, quels que soient les angles de ce losange.
Si l'on a
az=zh sJt,^
les conditions (5) et (6) deviennent
sin 0 4- ces 0 ^ V^ et sin 0 -h ces 0 ^ ^2 ,
ce qui exige que l'on ait
sin 0 •+• cos 0 == s/2 , d'oiîi 0 = 45°.
Il n'y a , dans ce cas , qu'un seul parallélogramme dans lequel on puisse inscrire un carré.
Ces dernières propriétés résultent aussi de la construction indiquée sur la fig, 3 , quand on y suppose successivement
2^ = 0A et 2Ô = 0V.
REMARQUES SUR QUELQUES SÉRIES (saite)
(Toir page 48S) ;
Par m. le BESGUE.
7. Si dans le développement de e' on change x en X si — I, on trouve, au moyen des formules (5) qui reviennent à
jp2
cos j: =: I 1-
%inx z= X ■
