SUR LA RECTIFICATION DE LA MÉTHODE D APPROXIMATION DE NEWTON

Par m. PROUHET.

La rectification de la méthode de Newton , ordinairement attribuée à Fourier, se trouve dans un ouvrage publié en 1770, sous ce titre : Traité de la résolution des équations in\^ariables ^ par M. J.-R. Mouraille, de l'Académie des Sciences et Belles-Lettres de Marseille. Paris et Toulouse, 1770; in-4^ de xxxii- — 446 pages, 1 7 planches.

L'auteur nomme im^ariables les équations algébriques, pour les distinguer des équations différentielles , dont il devait traiter dans un second volume qui n'a jamais paru. 11 donne l'interprétation géométrique de la méthode de Nevv^ton, et il examine dans le plus grand détail (p. 829 « 36i, fig. 4^ à ^^) toutes les particularités que peut présenter une courbe du genre parabolique , dans les en- V irons du point où elle rencontre Taxe des x. Il indique

ensuite entre quelles limites la méthode de Newton est applicable; quels sont les cas où il faut partir d'une valeur approchée par défaut, et ceux où la première valeur substituée doit être approchée par excès.

La méthode de Newton consiste à réduire Téquation

■ f{a)^hf[a)^-^^r[a)+...=o

« ses deux premier» termes. En conservant le troisième, aurait-on une valeur plus approchée? Quelques auteurs Font pensé 5 mais M. Mouraille fait voir qu'il n'en est pas toujours ainsi , et qu'on pourrait s'éloigner de la racine cherchée.

L'ouvrage de Mouraille parait n'avoir point attiré l'attention des géomètres à l'époque où il a été publié, et il est tombé aujourd'hui dans un oubli complet, qu'il ne mérite pas cependant, d'après ce que nous venons de dire. Toutefois il est bon d'ajouter que c'est un peu la faute de l'auteur. Son style est diffus , ses démonstrations souvent peu rigoureuses, et il affiche, à propos de l'infini, une métaphysique capable d'effaroucher beaucoup de lecteurs. Ce mauvais voisinage a fait tort à quelques idées neuves et ingénieuses que renfermait le Traité de la résolution des équations ini^ariables.