Deuxième partie (table iia à i'jS, p. 169 à 483; sections VII à XX

Intégrales de fonctions composées de deux fonctions.

Exemples :

Table 116, p. 173,

jer'^'af dx (L. 9 à oo ) (Skrret),

Table 127^ p. 186,

Table 142, p. 2o5,

/ e^' (r + i>)«^> dx (L. — 00 à -♦- 00 ) (Caylbt),

A partir de la table i5i apparaissent les transcendantes [ixy,

A partir de la table 161 , logarithmes combinés avec des lignes trigonomélriques.

Exemples : ,

(33 ) Dans la table 19 1, on rencontre des //.

Exemples :

(Malmsten).

rfu:=-7r, 7>'.f (t. 195, p. 270)

( (Serret).

Q I — 2/7 cos :ç H- /?' ^ .1 — p^^ ' '

(t. 25o, p. 342) (BlERENS DeHaAN).

Jf erP' l[q-' '.ry dx = ^[Iq'' — Ol erPi E i(pq )] 0 P .

(BlKREKS DE HaAn).

Y,i[pq)=. I ^^-^ (exponentielle intégrale, p. 369).

J—pq P^

Les noms qui apparaissent le plus fréquemment dans cette partie, sont Binet, Cauchy, Laplace, Poisson, Raab, Schlômilch, et aussi quelquefois Dienger, OEttinger et Lobatschewsky (de Casan), Malmsten.

Les tables aSa, 253, 254, 262 renferment les fonctions elliptiques.

Troisième partie (tables 376 à 447? P- 487 à 372, sections XXI à XXVI).

Contient les intégrales des fonctions à argument de plusieurs fonctions. •

Bulletin maihématiqup.X. \,{MSi\ l'^D^,) 5

(34) Exemples:

e-1" (qs' - p)x'P-< Ixdx = -1-T{p),

crP* sin gx,af~* dx

- cos'" ( arc tang - J sin ( r arc tang - j

(t. 386, p. 499) (Sbehet et Bongompagui).

(/ tang xY dx=z — p — «*

^ ' sm 2x 5i2

(t. 4io, p. 529) (Euler).

Mêmes noms que dans la deuxième partie.

Le sommaire très-détaillé qui est au commencement du volume (p. 5 à 19) est une dichotomie analytique si bien faite, qu'on peut trouver tout de suite l'intégrale dont on a besoin et insérer de nouveaux résultats; à cet effet, il est nécessaire de faire intercaler par le relieur des pages blanches.

On peut aussi recommander Fouvrage aux professeurs enseignants. Ils y trouveront en profusion des exercices de quadratures à proposer aux élèves, aujourd'hui que les différentielles et les intégrales sont entrées dans nos écoles sous le masque de fonctions primes et primitives.

. . . Licuity semperque licebit Signatum présente nota producere nomen.

(HoEAT,, Ars poetica, )

VL est à désirer qu'on nous donne une collection semblable d'intégrales adéquations différentielles, classées par ordre, degré, nombre de variables, nombre d'équations; d&mème pour les différences partielles et pour les

( 35 ) différences finies. C'est aux grandes académies à encourager de tels travaux , en se chargeant des frais d'imprevsion. Trois académies ^ Pétersbourg, Berlin, Amsterdam, sont entrées dans cette voie et ont bien mérité de la

science.

Leçons sur la théorie des fonctions circulaires et la TRIGONOMÉTRIE^ par le P. I.'L.-A. Le Cointe, de la Compagnie de Jésus , professeur au collège Sainte-Marie, à Toulouse. Ouvrage destiné à la préparation aux Ecoles du Gouvernement et spécialement à l'Ecole Polytechnique. In-8 de 385 pages. Paris, chez Mallet-Bachelier, imprimeur-libraire, quai des Âugustins, 55. Prix : 6 francs.

L'ouvrage du P. Le Cointe se présente au public sous le patronage éminent de M. le doyen de la Faculté des Sciences de Toulouse , qui en a fait un Rapport très- favorable à l'Académie des Sciences de cette ville (séance du 9 décembre i858), et il n'est pas douteux que ces éloges seront ratifiés par tous ceux qui le liront avec l'attention qu'il mérite.

Nouveau par l'introduction d'un assez grand nombre de questions , cet ouvrage Test encore par l'ordre adopté pour la distribution des matières. Comme un grand nombre de questions y appartenant à la théorie des fonctions circulaires , n'ont aucun rapport avec la trigonométrie , l'auteur a justement établi une démarcation absolue entre ces deux branches des sciences mathématiques.

La théorie des fonctions circulaires, qui fait le sujet de la première de ces deux graiides divisions du livre, comprend trois parties :

Dans la première partie , intitulée Etude analytique et élémentaire des fonctions circulaires^ l'auteur considère

( 36 ) comme des rapports les lignes trigonométrlques (sinus, tangente, sécante, etc.), étudie les lois de leurs variations, établit les relations qui existent entre les rapports trigonométriques d'un même arc et celles qui concernent l'addition et la multiplication des arcs-, f^it connaître les limites de certaines fonctions circtilaires simples ou composées, et se trouve ainsi conduit naturellement à exposer les principes de la construction des Tables trîgonomélriques. Le rayon est toujours désigné par R, le cercle par C et la demi-circonférence par H (*). Des exemples numériques bien choisis , parmi lesquels se présente la résolution de certaines équations transcendantes , servent d'application. Dans ces exemples, l'auteur s'attache toujours à rendre les formules propres au calcul logarithmique 5 c'est en effet une précaution qu'on prend généralement dans la pratique. Cependant elle n'est pas d'une nécessité absolue, et quelquefois même elle occasionne ' une perte de temps. On pourrait donc désirer de trouver quelques exemples du calcul immédiat de formules non rendues logarithmiques , effectué néanmoins à Taide des TaBles de logarithmes qui sont seules en usage.

La seconde partie, intitulée Étude analytique et complémentaire des Jonctions circulaires^ traite des propriétés relatives à la sommation des suites limitées de certaines fonctions circulaires. On y trouve les formules de Moivre, de Jean Bernoulli et plusieurs autres dues à Euler et à Fuss.

L'auteur expose ensuite la résolution des équations binômes 5 un grand nombre de propriétés concernant les différentes valeurs des radicaux '^ i et 1^ — i , în étant un nombre entier positif; la théorie des polygones réguliers

(*) Cette notation aurait pH être évUée 'pour prendre celle qui est en usiage. Th.

(37) • convexes et étoiles; la division de la circonférence en dix-sept parties égales , et plusieurs théorèmes relatifs à la multiplication des arcs. Cette seconde partie se termine par la résolution des équations algébriques du troi- . sième degré.

La troisième partie est consacrée à une étude élémentaire et géométrique des fonctions circulaires. C'est dans cette partie que l'auteur a réuni les différentes propriétés géométriques qui sont le fondement de la trigonométrie rectiligne et de la trigonométrie sphérique.

Parmi les propriétés relatives à la division du cercle en parties égales, on trouve le théorème de Moivre, celui de Cotes, qui en est une conséquence, et plusieurs autres propositions intéressantes extraites du Journal mathématique de Cambridge, L'auteur donne (p. 264) une démonstration très-simple du théorème de Lexell, et termine cette troisième partie par un appendice où il a réuni plusieurs théorèmes qui ne se rattachent à la théorie des fonctions circulaires que par certaines démonstrations dont ils sont susceptibles.

La trigonométrie , réduite à ce qu'elle est essentiellement, savoir : la résolution des triangles , est traitée, dans le chapitre suivant, avec tous les développements qu elle comporte. L'auteur a eu soin d'y ajouter quelques applications numériques qui indiqueront aux élèves l'ordre qu'il convient de suivre dans les calculs des formules trigonométri(|ues.

Enfin, l'ouvrage se termine par une collection fort riche de questions , que l'auteur propose comme exercices, dont plusieurs sont nouvelles, et dont le choix sera très-apprécié des professeurs. Quelques-unes de ces questions sont extraites des Nou\^eUes Annales de mathématiques, des Actes de Pétersbourg, du Journal de Crelle, du Bulletin de Férussac et des ouvrages de Delambre et de Puissant,

- ( 38 ) En résumé, Fouvrage du P. Le Cointe dénote chez son auteur une grande érudition et un talent exercé; c'est une mine féconde où pourront puiser abondamment tous ceux qui veulent approfondir Tétude de cette branche des sciences mathématiques , et MM. les Professeurs y trouveront , pour l'enseignement de leurs élèves , un grand nombre d'éléments réunis, qu'ils chercheraient vainement dans d'autres recueils. E. J.

Note du Rédacteur, Parmi les qualités de ce savant ouvrage , nous signalerons les notions historiques et les citations in extenso des sources : preuve d'érudition et aussi devoir de conscience. C'est l'ouvrage le plus complet sur les fonctions circulaires et sur les sommations de séries circulaires finies. Aux p. loo à io6, on trouve des solutions d'équations transcendantes, si en vogue aujourd'hui, par exemple, le système d^équations

— tangx = — 7 lang j = tang z;

les équations binômes sont traitées avec l'étendue que comporte le sujet. On donne Tinscription géométrique des huit polygones réguliers de dix-sept côtés (p. i86), avec figure intercalée.

Les deux trigonométries sont développées avec le même soin que les fonctions circulaires; les exercices numériques abondent; parmi les quatre-vingt-treize exercices qui terminent l'ouvrage, il y en a de curieux, de nouveaux et tous très-utiles; nous y puiserons quelquefois.

Il y a quelques démonstrations puritaines. Il est toujours convenable d'avoir confiance dans l'intelligence du lecteur.

Jl aurait été à désirer que l'auteur, à l'instar de Ca-

( 39 ) gnoli, eût indiqué les relations différentielles des éléments des triangles, indispensables pour les praticiens. La résolution trigonométrique de l'équation du 4® degré aurait du suivre celle du 3® degré. En tête de tout ouvrage de mathématiques, on devrait trouver Fexplication des notations employées par Fauteur. Gela faciliterait Fintelligence de la matière et économiserait le temps.

Nous croyons donner une idée exacte de cette production, en la définissant une Encyclopédie trigonomé* trique.