L'équation

représente trois courbes diflérentes dans les trois systèmes des coordonnées *, si O est un point commun à deux de ces systèmes, et si ces coordonnées u, u sont identiques dan s les deux systèmes, les deux courbes auront au point O mêmes normales, et par conséquent mêmes tangentes. Voici quelques applications de ce tbéorème.

4. Soient AM, AN deux droites fixes-, Om (u)jOn(i') deux perpendiculaires abaissées du point O sur les droites AM, AN^ si l'on a l'équation

u — a p = o , alors :

i". Dans le premier système des coordonnées, celle équation est celle d(î la droite OA.

2°. Dans le Irolsîème système, m étant un point fixe, celte équation est celle d'une conique ayant m pour foyer et AN pour directrice; la droite OA est alors tangente à la conique 5 par conséquent, les tangentes menées par les extrémités d'une droite focale rencontrent les directrices au même point A , et la droite qui joint ce point A au foyer est perpendiculaire sur la corde focale.

3**. Dans le second système (th. H), m et n étant des points fixes, l'équation

u — ac = O

est celle d'un cercle passant par O et par les points où les bissectrices de l'angle mOn et de son supplément rencontrent la droite mn ; et OA est une tangente au cercle.