Si dans les figures précédentes on a
alors, dans le premier système, cette équation est celle d'une hyperbole ayant OM, ON pour asymptotes. Dans te deuxième système , 771 et n étant des points fixes , cette équation est celle d'une lemniscate touchant l'hyperbole en O. Or O est le milieu de la partie de la tangente à l'hyperbole interceptée entre les deux asymptotes M et N 5 donc la même propriété a lieu pour la lemniscate. De semblables constructions et théorèmes ont lieu pour toutes l^s courbes qui sont représentées dans les trois systèmes par l'équation
6. Soient A le centre d'une conique; M et N deux diamètres conjugués 2 v'â et a \/^. L'équation
[a) ^-HÎ^ = sin'(M, N)
(56) jeprésciiK* Téquation de celte conique dans le premier système; si m et n sont considérés comme points fixes, la même équation représente, dans le deuxième système, un cercle qui a pour centre le centre de gravité de deux poids proportionnels a et P placés respectivement en m et en 71 ; mais, la conique et le cercle se touchant en O, on a donc ce théorème :
Si du point O d^unè conique on abaisse des perpendiculaires Om, O 71 sur deux diamètres conjugués 2 ^a , 2 v'jâ , la normale en O rencontre la droite mn en un point qui est le centre de grauité de deux poids a et ^ placés en met n.
Dans le cercle, cette normale passe par le milieu de mn , et dans l'hyperbole équilatère la normale est parallèle à mn.
Un théorème analogue a lieu pour les surfaces du second ordre ^ alors il faut placer aux pieds des perpendiculaires comme poids proportionnels les carrés des aires des parallélogrammes formés par les deux diamètres conjugués qui sont dans le plan sur lequel on a abaissé les perpendiculaires.
O. Hermès (p. 204 à 217). Extension des propriétés du quadrilatère plan aux tétraèdres, pentaèdres et hexaèdres.
Démontré à l'aide des coordonnées trilitères et quadri* litères.
On donnera ces propriétés dans le journal.
O. Hermès (p. 218 à 246). Sur des tétraèdres homologues.
Extension du théorème Poncelet^ sera donné dans le journal.
Calcul infinilésimaL
LiPSCHiTZ (R.), de Bonn (p. 189 à 196). Sur l'intégrale
de V équation différentielle -^ H — -7- -f- 1 = o.
On rencontre cette équation dans le mouvement de la chaleur dans un cylindre infini. Elle a été étudiée par FouRiER, Théorie analytique de la Chaleur, ch. VI, p. 369-,
Poissow, Journal de V Ecole Polytechnique^ cah. XIX, p. 349.
Bessel, Mémoires de V Académie de Berlin y iSaS. (Recherche sur la partie des perturbations planétaires dépendant des mouvements du Soleil. )
On possède une intégrale particulière , représentée par la série infinie convergente
et encore par l'intégrale définie
I(x) = - 1 cos(jrcosf )rf(p.
'^ Jo
Poisson démontre que pour des valeurs croissantes de x la fonction! [x) s'approche de plus en plus de
I CCS a: H- sm or
et donne pour des valeurs très-grandes de x une série semi-convergente .
Le but du Mémoire de M. Lipschitz est de montrer de nouvelles relations entre la fonction I (x) et les fonctions trigonométriqnes , et de donner une nouvelle série semiconvergente.
Bulletin maihématique, X. \, {^^oûl \%^,) 8
(58) Ainsi il trouve
^aation analogue à celle-ci ;
tr^* icosax -h isinax]£tx rrzi Tz :♦
0 ^ ' *'-Hû«
et
r(«)ri(m-,)r(i«) ,
«-- 'I(«*)<ir= j i Lsmmit—,
analogue à celle-ci :
r** ., ... y, r(iii)/ «lit . . mic\
I j:"-' [cos^x -ï- I sm ax) dx =r — ^ — '- ( cos — - -f i sm — 1 1 Jo a- \ a a ;
ou
Les séries semi-convergentes se déduisent de ces théorèmes, et Fauteur fait usage de la construction géométrique des quantités complexes x -h ijr.
O. RôTHiG (p. 1 97 à ao3) . Sur quelques espèces dP intégrales elliptiques.
i. Soit
f{x) fonction rationnelle.
Au cas où m = I <Mi ms=: a , Legendre a examiné quelques cas particuliers [Fonctions elliptiques^ ch. XXVII, XXVm et XXXn) ^ de même MM. Mindig et Rlchelot (Journal de Crelle, t. IX, p. ngS it 407); M* Hôthig
(59) par (Kverses transformations ramène pour m quelconque Tintégrale à la fonction elliptique
