Relation harmonique . Les quatre droites

f = o, at-h buz:z o, at — 6« = o, tf=:o, forment un faisceau harmonique dont le sommet est C.

8. Pôle d''une droite relativement à un triangle. Soit, comme ci-dessus , le triangle de référence ABC 5

aii-f- if 4- et' = o Téquation d'une transversale.

r = o, at'^bii^^Oy at — bn^o, a tîr o, forment un faisceau harmonique passant par C ;

f=ro, at -^ cv =: O , at — cv = o, p=ro, forment un faisceau harmonique passant par B;

u-=o, bu^cp-^no^ ôa—- cp=ro, «^ = o,

forment un faisceau harmonique passant par A. Les trois droites

at — buz=iOf a/ -— rc r=. o , bu — cf = o

passent par le même point P (n^ 5) ; ce point P est dit le pôle de la transversale relativement au triangle. En considérant le triangle comme une ligne du troisième ordre , le point P est le pôle de la droite, d'après la théorie générale des pôles et polaires de BobiUier.

Le centre de gravité du triangle est le pôle d'une droite située à l'infini.

(68) Les centres des cercles qui touchent les côtés du triangle sont les pôles des quatre droites

tdtu±v = o.

O étant le centre du cercle circonscrit , la polaire de ce centre P est

t sin OBC H- u sin OCA + v sin OAB = o ; OBC-|-OCA-hOAB = -.

9. Droites conjuguées dans le quadrilatère. A l'aide de coordonnées trilitères, on démontre facilement ce théorème connu :

« Si Ton coupe un quadrilatère complet par une transversale, elle rencontre les trois diagonales en trois points^ sur chaque diagonale, on prend le point correspondant harmoniquement au point d'intersection et relativement aux extrémités de la diagonale, on obtient trois points en ligne droite *, c'est la droite conjuguée à la transversale : lorsque celle-ci se transporte à Tinfini , la conjuguée est une droite passant par les milieux des trois diagonales. » On sait que cette dernière propriété est un cas particulier du théorème de Newton , que les centres des coniques inscrits dans un quadrilatère sont sur une même droite.

Coordonnées quadrilatères.

10. Soit un tétraèdre ABCD5 désignons par f , a, i/, w les distances respectives d'uu point aux quatre faces BCD, CDA , DAB , ABC : le point sera déterminé lorsqu'on connaît trois rapports entre ces quatre quantités. Par exemple, -î - î - ; f , M 5 1^, tv pris dans ce sens , sont les quatre coordonnées du point.

( 69 ) y (f , u, j^, w) = o exprime l'équation d'uue surface; équation essentiellement homogène. ABCD est dit tétraèdre de référence,

{ \ . Équation d'un plan, at -{- bu -{- a^ -h dv = o e«t Téquation d'un plan; a^b^ c , d quantités constantes.