Prenons encore un quatrième plan

a^t -h b^u -j- c^ff -h ff^w = o;

pour que les quatre plans passent par le même point, on doit avoir

(a bi Cjd^) =r o :

deux de ces plans représentent Téquation d^une droite; ainsi on a la condition pour que deux droites se coupent, «t Ton peut prendre arbitrairement deux coeiBcients dans chacune des deux équations d'une droite.

14. Pour que trois p'ans passent par la même droite, on doit avoir

{ab'c'') = o, (ab,c,^) = o.

13. Conditions pour que quatre droites passant par les sommets d'un tétraèdre soient sur le même hyperboloïde. (Hehmes.)

Soit ABCD le tétraèdre de référence.

(7o) [gt) • • . — = — = — ? équaU d une droite qui passe par A ;

^lî ''iS '2|4

(gu).. .— = — = —, » B;

Ou fl4T «43

, Soient gfi gut gu trois génératrices du même système d'un hyperboloïde à une nappe, trouver la relation entre les a pour que la droite gy, soit une génératrice du même système.

Solution, Soit

équation d'un plan passant par le sommet  et la droite

{Su)\

équation d'un plan passant par le sommet A et la dfoite JL — JL

équation d'un plan passant par le sommet  et la droite

Ces trois plans doivent se couper suivant une même droite du second système , puisque g^ 'i gv^gw appartiennent au premier système, éléments de Thyperboloïde -, il faut alors qu'on ait a^z = a^t , a^k = û*t ? ^zh = «*8 ? et la droite d'intersection de ces trois plans sera a34{/=ât4f^ = as8%v, droite du second système.

On prouve de la même manière, faisant usage du som-

met B , que Ton doit avoir an = «is , au = ^a ] la condition générale est donc que Ton doit avoir 0^ = 0^. Ainsi, les quatre génératrices du second système sont :

et les quatre droites

an

On

u On

au

— = — = — 9 passant par le sommet A ;

«la «13 «M

sont sur le même hyperboloïde (Hermès ) .

Note du Rédacteur, Désignons respecti vement pa r U^ , V«, W^ les sinus des angles que fait la droite qui passe par A avec les faces u, v^ w qui se coupent en A; de même par T^ , V^ , U» les sinus des angles que fait la droite menée par B avec les faces t^ ^^^ u^ et ainsi des deuic autres.

Lorsqu'on a les six relations suivantes , les quatre droites sont sur le même hyperboloïde *, la quatrième droite g^ rencontre les trois premières, et appartient au second système.

En écrivant les éctelles

Oj by c, (i

on voit la loi des indices

Te Urf. -

TiVj -

TjVi =^o.

U.Vj -

VjVa = O,

VaWc-